Здається майже очевидним, що ця розгортка є контрприкладом до теореми Александрова. Тим не менше, і з цієї розгортки теж можна склеїти тетраедр (рис. 4, в). br/>В
а) б) в)
В
г) д)
- справжня вершина багатогранника
- фіктивна вершина
Рис. 5
Інший В«контрприкладВ». Візьмемо правильний трикутник, поділимо його боку навпіл і ототожнив половинку кожного боку з іншого її половинкою (рис. 5, а). Очевидно, що з такої розгортки можна склеїти правильний тетраедр (рис. 5, b). p align="justify"> Разрежем трикутник по висоті AE (рис. 5, а) на два прямокутних трикутника, які склеїмо по іншому загальному катету AE. Отримаємо нову, ізометрічних розгортку ACABAE (рис. 5, в). І знову виникає сумнів у тому, чи можна склеїти з неї правильний тетраедр. Між іншим, розгортка, показана на рис. 5, в ізометрічних розгортці, що на рис. 5, а і, отже, склеїти її в багатогранник теж можна. Більше того, це буде той же правильний тетраедр. На рис. 5, г представлена ​​ще одна розгортка, ізометрічних попереднім. Можливість склеїти з цієї тупоугольнотреугольной розгортки тетраедр здається ще більш сумнівною. p> Проте, по теоремі Александрова, це можна зробити. І взагалі, нехай у розглянутій розгортці є рівно чотири вершини, у яких сума відповідних кутів строго менше 2. Їх визначити неважко. Ясно, що з такої розгортки можна склеїти лише тетраедр, який може вироджуватися в чотирикутник. Щоб отримати на розгортці ребра майбутнього тетраедра, потрібно вже виділені вершини попарно з'єднати найкоротшими. Це і будуть ребра тетраедра. Коли розгортка В«хорошаВ» (рис. 5, а), ці найкоротші складаються з цілих відрізків і добре вгадується майбутній багатогранник. Але, взагалі кажучи, найкоротша на розгортці складається з декількох відрізків (рис. 5, в, г), і через це важко визначити вид тетраедра. На рис. 5, г наведена В«підозрілоюВ» розгортка тетраедра з уже намальованими на ній ребрами. Результат склеювання зображений на рис. 5, д.
Завдання визначення багатогранника по розгортці, якщо розгортка має більше чотирьох справжніх вершин (у яких сума відповідних кутів менше 2), є дуже важким. По теоремі Александрова про розгортці, ми знаємо, що опуклий багатогранник існує. За теоремою Коші-Александрова, він єдиний. p> Виникає питання: який він? Легко визначити на розгортці вершини багатогранника. Кожному ребру на многограннике відповідає найкоротша, що з'єднує якісь вершини. Але не всі найкоротші, що з'єднують вершини, є ребрами. Визначити, які пари вершин на розгортці з'єднуються ребрами, - дуже важка, невирішена задача. p align="center"> вектор олександрів поверхню
Висновок
Висновок по роботі відноситься до теорії внутрішньої поверхні: для спеціальної розгортки, у якої кожен багатокутник - це грань багатогранника, кожне ребро - це ребро багатогранника, а вершина - вершина багатогранника, легко бачити, що ейлер...
