align="justify">? x = (ba)/n при розподілі відрізка на n рівних відрізків за допомогою точок x0 = a
В
Площа крайньої смужки ліворуч, як помниться зі шкільного курсу геометрії, дорівнює добутку півсуми основи на висоту.
S =
Отже, запишемо сказане вище в математичному вигляді
(2)
Формула (2) і є формула трапецій
В
Для визначення похибки інтеграла обчисленого за допомогою формули трапецій використовується формула
В
де
2.3 Формула парабол
Існує два підходи до формули парабол (Сімпсона). В одному використовується парабола в іншому немає. p align="justify"> А) з використанням параболи.
Розділимо відрізок [a; b] на парне число рівних частин n = 2m. Площа криволінійної трапеції, відповідної першим двом відрізкам [x0, x1], [x1, x2] і обмеженою заданої кривої y = f (x), замінимо площею криволінійної трапеції, яка обмежена параболою другого ступеня, що проходить через три точки M0 [x0, y0 ], M1 [x1, y1], M2 [x2, y2] і має вісь, паралельну осі Oy (рис). Таку криволінійну трапецію будемо називати параболічної трапецією. p align="justify"> Рівняння параболи з віссю, паралельною осі Oy, має вигляд:
В
Коефіцієнти A, B і C однозначно визначаються з умови, що парабола проходить через три задані точки. Аналогічні параболи будуються і для інших пар відрізків. Сума параболічних трапецій і дасть наближене значення інтеграла. Спочатку обчислимо площа однієї параболічної трапеції. Для цього доведемо лему. br/>В
Лемма: якщо криволінійна трапеція обмежена параболою, віссю Ox і двома ординатами, відстань між якими дорівнює 2h, то її площа дорівнює
(3)
де y0 та y2-крайні ординати, а y1-ордината кривої в середині відрізка.
Доказ
В
Розташуємо допоміжну систему координат так, як показано на рис. Коефіцієнт в рівняння параболи визначаються з наступних рівнянь:
Якщо x0 =-h, то
Якщо x1 = 0, то (4)
Якщо x2 =-h, то
Вважаючи коефіцієнти A. B, C відомими визначимо площа параболічної трапеції за допомогою певного інтеграла:
В
з рівності (4) випливає, що
В
отже: ч.т.д. користуючись формулою (3), можна написати наближені рівності, враховуючи, що
В В В В
складаючи ліві і праві частини, отримаємо зліва шуканий інтеграл, праворуч його наближене значення
В
або
(5)
Це і є формула Сімпсона. Тут число точок ділення довільно, але чим це число більше, тим то...
