? позитивно певна матриця
р - число пояснюють змінних-число спостережень
- узагальнена лінійна модель множинної регресії.
Порівнюючи узагальнену модель з класичною бачимо, що вона відрізняється від класичної тільки видом ковариационной матриці: для узагальненої маємо:?? =?.
На відміну від класичної, в узагальненій моделі коваріації і дисперсії пояснюють змінних можуть бути довільними.
У цьому полягає суть узагальнення регресійної моделі.
Оцінка b * узагальненого методу найменших квадратів для параметра? при відомій матриці? збігається з його оцінкою, отриманої методом максимальної правдоподібності.
Оцінка b * узагальненого методу найменших квадратів може бути визначена як точка мінімуму узагальненого критерію.
. Узагальнений метод найменших квадратів для моделі з гетероскедастичності, коли коваріаційна матриця обуреної?? =? є діагональна матриця, називається зваженим методом найменших квадратів. Застосовуючи цей метод, мінімізуємо:
«Зважуючи» кожен залишок за допомогою коефіцієнта 1 /? i, ми добиваємося рівномірного вкладу залишків у загальну суму, що приводить в кінцевому рахунку до одержання найбільш ефектних оцінок параметрів моделі.
Оцінка параметрів регресійної моделі:
Спочатку застосувати звичайний метод найменших квадратів, потім знайти регресію квадратів залишків на квадратичні функції регресорів, тобто знайти рівняння аргументами якої є квадрати значень регресорів і їх попарні твори:
де - випадковий член.
Після чого слід обчислити прогнозні значення за отриманим рівнянням регресії і отримати набір ваг:. Потім треба ввести нові змінні.
, і знайти рівняння:.
Отримана при цьому оцінка b * і є оцінка зваженого методу найменших квадратів вихідного рівняння.
Тема 5. Нелінійні моделі регресії
Співвідношення між соціально-економічними явищами і процесами далеко не завжди можна виразити лінійними функціями, тому що при цьому можуть виникнути невиправдано великі помилки.
Нелінійними виявляються виробничі функції (залежності між обсягом виробленої продукції та основними факторами виробництва - працею, капіталом і т.п.), функції попиту (залежність між попитом на товари або послуги та їх цінами або доходом) і інші.
Для оцінки параметрів нелінійних моделей використовуються 2 підходи.
Перший підхід заснований на лінеаризації моделі. Досліджувану залежність представляють у вигляді лінійного співвідношення. Коли підібрати відповідне лінеарізующее перетворення не вдається, застосовуються методи нелінійної оптимізації на основі вихідних змінних.
Види рівнянь регресії, нелінійні щодо включених в аналіз пояснюють змінних, але лінійні за параметрами:
1. парабола II порядку
. кубічна парабола
. показова
. експонеціальная
. модифікована експонента
. крива Гомперца
. логічна крива
. логарифмічна парабола
. гіперболічна.
. Середні коефіцієнти еластичності для лінійної регресії розраховуються за формулою:
Для розрахунку приватних коефіцієнтів еластичності застосовується наступна формула:
