осовуючи достатня умова умовного екстремуму. Розглянемо два випадки.
У першому випадку, коли, диференціал другого порядку функції Лагранжа має вигляд
Підпростір в точці описується рівнянням
або з урахуванням рівностей
У точці підпростір описується тим же рівнянням. Легко побачити, що квадратична форма
що є звуженням (або) на підпростір, позитивно визначена, так як. Значить, точки і є точками умовного мінімуму.
У другому випадку, коли? =? , В точках і другий диференціал функції Лагранжа має вигляд
а підпростір описується рівнянням
Так як, квадратична форма на підпросторі (тобто при) негативно визначена, і тому точки і є точками умовного локального максимуму.
Цей приклад є ілюстративним, і наведене рішення в даному випадку не найкраще. Дійсно, обмеження можна записати параметрически у вигляді,,. Це дозволяє замінити дослідження функції двох змінних на умовний екстремум дослідженням на екстремум функції одного змінного. Крім того, поставлена ??задача має просту геометричну інтерпретацію. Крива в даному випадку являє собою еліпс з півосями і. А лінії рівня функції - це концентричні кола, причому значення функції на кожній такій окружності дорівнює квадрату радіуса (рис. 3).
Рис. 3. Геометрична інтерпретація задачі
Максимальний радіус кола, що перетинає еліпс, дорівнює великої півосі еліпса. При цьому окружність перетинає еліпс в його вершинах, розташованих на великій осі. Мінімальний радіус кола, що перетинає еліпс, дорівнює малій півосі еліпса, а точками перетину будуть залишилися дві вершини еліпса.
Приклад 5. Розглянемо таку задачу на екстремум
Цільова функція задачі і обидві функції, що задають рівняння зв'язку, є принаймні двічі диференційовними. Тому рішення задачі можна шукати за допомогою функції Лагранжа. У цьому випадку функція Лагранжа має вигляд
Необхідні умови екстремуму призводять до системи рівнянь
З перших трьох рівнянь укладаємо, що
Крім того, знаходимо
Віднімаючи з четвертого рівняння системи (12) п'ятий і скорочуючи на 2, отримуємо, що призводить до двом випадкам і. Однак останній випадок неможливий, бо інакше з рівностей (14) буде випливати, що і, а це суперечить неравенствам (13).
Отже,. Враховуючи це, з рівностей (14) знаходимо, що і, тобто . Використовуючи четверте або п'яте рівняння, отримуємо два рішення розглянутої системи:
Необхідні умови екстремуму привели до двох точках, підозрілим на екстремум. Досліджуємо ці точки, використовуючи достатні умови екстремуму. Обчислюємо диференціал другого порядку функції Лагранжа:
У точці з урахуванням і диференціал приймає вид
а в точці буде відрізнятися знаком:
Видно, що в першому випадку другий диференціал є негативно певною квадратичною формою, а в д...
