вдання № 4:
Побудувати модель бджолиної соти.
Рішення:
В правильної шестикутної призмі ABCDEFA1B1C1D1E1F1 проведемо діагоналі F1B1, B1D1, F1D1 верхнього підстави призми і на осі ОО1 візьмемо деяку точку N (рис. 2). Через B1F1, B1D1, F1D1 і точку N проведемо три площини, які відсікають від призми три рівні трикутні піраміди A1MB1F1, C1LB1D1, F1KD1E1. Одержаний багатогранник NF1MB1LD1KABCDEF і є бджолиної осередком (рис. 1, 2).
Далі ми побудували розгортку бджолиної комірки. Оскільки бокова поверхня багатогранника представляє собою шість рівних між собою трапецій, то для отримання розгортки ми побудували ці трапеції. Побудуємо відрізок АА « =АВ + ВС + CD + DE + EF + FA » (Рис. 4). На продовженні ребра CL від точки L відкладемо відрізок LN і з точки L проведемо коло радіусом, рівним, наприклад, відрізку B1L. Після цього побудуємо середину відрізка LN, проведемо через неї перпендикулярну до нього пряму, яка перетинає дугу кола в двох вершинах B1 « і D1 » ромба. Два інших ромба будуємо наступним чином: з вершини B1 « (І з D1 ») проводимо окружності радіусом, рівним стороні побудованого ромба, а з вершини N - окружність, радіус якої дорівнює діагоналі ромба. Ці кола в перетині дають ще одну вершину кожного ромба: точку К справа і точку М зліва.
рис. 1 рис.2
Розгортка бджолиної комірки показана на рис 4. А на рис. 3 можна побачити, як стикаються осередку у вулику: їх загальною частиною є ромб. Коли розповідають про бджіл, то найчастіше демонструють малюнок, що показує стільники в розрізі площиною, перпендикулярної бічного ребру і перетинає всі стільники по правильного шестикутника. Але не менш наочно і інший перетин: якщо продовжити одну з бічних граней комірки так, щоб вона перетинала інші стільники, то перетин буде таким, як показано нижче.
рис.3
В результаті побудови моделі бджолиної соти виникли нові питання: чому бджоли будують денця своїх осередків у формі частини тригранного кута, як грані якого беруться ромби? Чи не можна було вчинити простіше, зробити дно плоским, тобто звичайним правильним шестикутником? Яка ж тут вигода для бджіл?
Завдання № 5
З двох багатогранників з рівними обсягами (правильна шестикутна призма і бджолина осередок) вибрати той, у якого менше площа поверхні.
Рішення:
За рис. 2 легко встановити, що кожному положенню точки N на осі 001 відповідає свій багатогранник NABCDEFF1MB1LD1K. Нехай АВ=a, BB1=b і NO1=х, причому 0 <х < b. Знайдемо то значення змінної х, при якому площа поверхні многогранника-осередки буде найменшою.
Введемо функцію S (x) площі поверхні багатогранника-осередки (без нижньої основи, треба ж кудись влітати бджолі). Не важко визначити, що F1B1=a. Площа ромба дорівнює половині твори діагоналей.
рис.4
Розглянемо трикутник MNQ (рис. 2). NQ=2x, МQ=a. Так як трикутник є прямокутним, то
Sромба=0,5 F1B1 · MN=0,5.
Площа однієї з трапецій, що входять в бічну поверхню багатогранника, дорівнює
Площа повної поверхні комірки складається з шести рівних трапецій і трьох ромбів, тобто
Щоб відповісти на це питання задачі про найменшою площі поверхні, треба знай...
