нуля, то в межі ми отримуємо
. (1.26)
Тому ортонормованій базис простору будуть утворювати функції
,. (1.27)
Це добре відомий базис Хаара. Він називається також вейвлетом Хаара.
Визначення 1.2. Елементи простору називаються вейвлетами Хаара. Функції називаються базисними вейвлетами. Функція називається масштабується функцією Хаара. Функція називається материнським вейвлетом Хаара.
Зауваження 1. Формула (1.26) не зовсім коректна. Її права частина являє усюди щільне в безліч кусочно-постійних функцій. Для точного рівності необхідно взяти замикання:
. (1.28)
Відзначимо також, що для будь-якого:.
Зауваження 2. Потрібно відзначити, що вейвлети Хаара і вейвлети Добеши першого порядку (db1) збігаються. Нижче на рис. 1.1 наведено графік вейвлета Хаара, а на рис. 1.2 - графік вейвлета Добеши першого порядку.
Рис. 1.1 Вейвлет Хаара
Рис. 1.2 Вейвлет Добеши (db1)
1.3. Вейвлет Мейера
Вейвлет-функції Мейера визначені в частотній області наступним чином:
.
Відповідна масштабується функція є:
.
Функція [PHI, PSI, T]=meyer (LB, UB, N) повертає масштабується функцію і вейвлет-функцію Мейера, обчислену в-точках регулярної сітки в інтервалі [LB, UB]. Змінна повинна бути ступенем числа 2. Вихідними параметрами є масштабується функція PHI і вейвлет-функція PSI, обчислені на сітці. Якщо потрібно в якості вихідного параметра отримати лише одну з перерахованих функцій, то потрібно четвертий аргумент:
[PHI, T]=meyer (LB, UB, N, «phi») або [PSI, T]=meyer (LB, UB, N, «psi»)
Наступний приклад будує графіки вейвлета Мейєра і його масштабується функції, який зображений на малюнку 1.3.
lb=- 10; ub=8; n=1024
[phi, psi, x]=meyer (lb, ub, n);
subplot (211), plot (x, psi); title («Meyer wavelet») (212), plot (x, phi); title («Meyer scaling function»)
Рис. 1.3 Вейвлет Мейера
.4 Побудова вейвлетов Добеши з компактним носієм
Побудуємо вейвлети з компактним носієм і з нульових моментів. Ці властивості необхідні для забезпечення хороших властивостей наближення вейвлет-розкладів. Знайдемо речові вейвлети і з компактним носієм і з нульовими моментами.
З компактності носія випливають такі факти.
. Фільтр коефіцієнтів розкладання складається з кінцевого числа речових ненульових членів. Тому частотна функція є тригонометричним членом. Якщо довжина носія дорівнює, то є не більше ненульових коефіцієнтів.
. Перетворення Фур'є є обмеженням на цілій аналітичної функції експоненціального типу. Зокрема, є гладкою класу.
. З безперервності слід [5, стор 207, 243], що. Тоді з масштабирующего рівняння випливає:.
Якщо вимагати нульових моментів функції, то функція має спеціальний вид
, (1.29)
де - тригонометричний поліном.
Крім того, коефіцієнти фільтра вейвлета має властивості:
,
,.
Оскільки відновлюється по функції за формулою
, (1.30)
то побудова ортонормованих вейвлетов почнемо з знаходження відповідної функції. Така функція повинна задовольняти відношенню ...
