n="justify"> отримуємо:
Наводячи подібні, отримуємо:
Аналогічно для функції:
Складаючи отримані рівності, отримуємо:
Згадуючи, що
а також, що
отримуємо:
Позначаючи за
Знову введемо в розгляд вектор. За його норму покладемо суму норм і
Тоді отримуємо:
При маємо
Далі, так як, а,, то, тому
Користуючись формулою нескінченно спадної геометричної прогресії, будемо мати:
А це означає, що послідовність обмежена за нормою. Отже, обмежені за нормою і послідовності і.
Щоб трохи полегшити доказ її збіжності, розглянемо спочатку лінійні інтегральні рівняння відносно невідомих функцій і і розглянемо вектор
Де
де
За допомогою методу послідовних наближень доводиться, що рівняння (39) і (40) мають рішення, що належать простору.
З рівностей (42) і (43):
Де
Аналогічно з рівності (41) і (44):
В силу збіжності та обмеженості і при всіх для будь-якого можна визначити такий номер, що для всіх буде:
Переходячи до норми в нерівностях (45) і (46), отримуємо
Складаючи отримані нерівності і згадуючи, що
отримуємо, що для всіх буде виконуватися нерівність:
При маємо, тому з попереднього нерівності випливає:
Таким чином, для будь-якого виконуватиметься нерівність:
В силу того, що для будь-якого числа можна визначити такий номер, що для всіх буде
Цим самим ми довели, що послідовність при, а значить і послідовності і сходяться відповідно до функцій і.
Точно також доводиться збіжність послідовностей і до деяких функцій і:
Складаючи отримані нерівності, отримуємо:
Позначимо
Тоді нерівність перепишеться у вигляді:
Тобто
При маємо
Далі, так як, а,, то, тому
Позначимо
Тоді нерівність перепишеться у вигляді:
Збільшуючи число, отримуємо:
Користуючись формулою нескінченно спадної геометричної прогресії, будемо мати:
А це означає, що послідовність обмежена за нормою. Отже, обмежені за нормою і послідовності і.
Щоб трохи полегшити доказ її збіжності, розглянемо спочатку лінійне інтегральне рівняння відносно невідомих функцій і ...
