теми рівнянь (26) методом послідовних наближень. Покладемо:
і будуватимемо послідовності функцій
таким чином, що для всіх
Або
В силу (31), (32) з (34) і (33) все, будуть обмежені:
Будемо доводити, що послідовні наближення сходяться. Знайдемо різницю:
Зауважимо, що функція має обмежені похідні на, оскільки, а
отже, задовольняє умові Ліпшиця з константою:
| |=|
де, а значить
|
Аналогічно для функції,,:
.
З цієї рівності виводимо, що
| |
| |
| |
З двох останніх доданків (36):
З урахуванням цих рівностей отримаємо з (36)
Тобто:
Аналогічно з (35):
Складемо останні рівності (37) і (38):
де
Розглянемо вектор. Будемо доводити, що послідовні наближення сходяться за нормою до вектора. За норму вектора покладемо суму норм і:
Тоді з урахуванням введених позначень рівність (39) перепишеться у вигляді:
Нехай - позитивний корінь рівняння. Тоді при будь-якому ряд сходиться до вектора. Саме, ми можемо представити у вигляді суми:
Ряд
мажоріруется сходящимся (так як поруч
(тут взято.
Це означає, що його часткова сума сходиться до вектора за нормою.
А це й означає, що ряди і також сходяться відповідно до функцій і по нормі. Перейшовши до межі в равенствах (33) і (34), отримаємо, що функції і, задовольнятимуть системі (26).
Одиничність випливає з того факту, що для різниці двох можливих рішень системи (26) виконуватиметься нерівність виду
де.
Лемма 2. При виконанні умов леми 1,.
Доказ.
Згідно (25) функція
неперервна і обмежена в (так як вона виходить з відомих безперервних і обмежених функцій за допомогою кінцевого числа арифметичних операцій і композицій).
З урахуванням цього функція
також неперервна і обмежена в.
Щоб довести існування, безперервність і обмеженість приватних похідних функцій і продифференцируем по співвідношення, що визначають відповідні послідовні наближення:
З урахуванням того, що
|
|
| |
| |
|
| |
|
| |
|
