і розглянемо вектор
Де
Де
Аналогічно для послідовності:
де
В силу збіжності та обмеженості і при всіх для будь-якого можна визначити такий номер, що для всіх буде:
Переходячи до норми в нерівностях (45) і (46), отримуємо
Складаючи отримані нерівності і згадуючи, що
отримуємо, що для всіх буде виконуватися нерівність:
При маємо, тому з попереднього нерівності випливає:
Таким чином, для будь-якого виконуватиметься нерівність:
В силу того, що для будь-якого числа можна визначити такий номер, що для всіх буде
Цим самим ми довели, що послідовність при, а значить і послідовності і сходяться відповідно до функцій і.
В результаті для послідовностей {} і {} встановлені
такі властивості:
Маємо: послідовність, при будь-якому сходиться за нормою цього простору. В силу повноти і замкнутості простору маємо, що, а значить, володіє приватними похідними по, причому
Аналогічно, а значить
Таким чином, лема 2 доведена.
На основі цих двох лем і всього вищевикладеного, можна сформулювати загальну теорему:
Теорема 1. Нехай на області та задано нелінійне диференціальне рівняння:
І нехай задано наступне початкова умова
Якщо:
Функція неперервна, обмежена, двічі?? безперервно дифференцируема по змінним і всі другі, а також змішані похідні задовольняють по цим змінним умові Ліпшиця і обмежені при всіх значеннях аргументів.
Нехай функція двічі безперервно дифференцируема на, а її друга похідна обмежена і задовольняє умові Ліпшиця.
Тоді існує така константа, що при задача (1) - (2) має єдине безперервне і обмежене разом зі своїми першими похідними рішення, яке збігається при з функцією, яка визначається з системи інтегральних рівнянь (26).
Постановка завдання чисельного розрахунку
Для вирішення вихідної задачі скористаємося системою (26) і, для зручності, третій рівнянням
Рішення будемо розглядати в області
Розглянемо кілька прикладів з конкретними значеннями параметрів і заданої функцією.
Приклад 1. Як функції оберемо. Тоді вихідне рівняння прийме вигляд:
В якості початкової умови візьмемо функцію
Диференціюючи (47) за і вважаючи,, отримуємо таке рівняння:
Використовуючи метод характеристик, отримуємо:
А значить,
Отже,,.
З рівності
ледует.
