х (наприклад, у пенсійному страхуванні) необхідні ймовірності дожиття подружніх пар. Ці ймовірності також розраховуються за таблицями смертності. Нехай мова йде про подружжя у віці х і у років і необхідно оцінити ймовірності прожити ще n років для кожного з них. Позначимо ці ймовірності як nPx, nPy. Визначимо їх таким чином:
де ly, ly - числа дожили до відповідних вікових груп (беруться з таблиць смертності для чоловіків і жінок).
У свою чергу ймовірності померти для кожного з подружжя складуть:
Розрахуємо ще дві ймовірності. Однак попередньо приймемо дві робочі гіпотези:
обоє з подружжя досягають віку х і y один день;
смерть одного чоловіка - страхова подія, незалежне від смерті другого з подружжя.
Ймовірність прожити подружжю разом ще п років (імовірність «збереження» подружньої пари) розраховується як добуток ймовірностей двох незалежних подій:
В актуарної практиці фігурують у формулі твори чисел дожили прийнято позначати наступним чином:
Формулу тепер можна записати:
Знайдемо тепер ймовірність того, що чоловік (який уклав договір страхування у віці х років, коли його дружині було у років) не доживе до x + n років, а дружина, навпаки, доживе до у + n років . Шукана ймовірність (позначимо її як nPx) дорівнює добутку ймовірностей:
ПРИКЛАД: Нехай вік подружжя 50 і 45 років. За таблицями смертності знаходимо:
. Комутаційні функції
фінансовий страхування ануїтет комутаційний
Для скорочення запису страхових ануїтетів і спрощення розрахунків застосовують так звані комутаційні функції (commutations functions), або комутаційні числа. Сенс цих чисел важко, хоча й можливо, змістовно інтерпретувати. Їх простіше сприймати як чисто технічні, допоміжні засоби.
Стандартні комутаційні функції діляться на дві групи. В основу перших покладені числа доживають до певного віку, друга - числа померлих. Коротко зупинимося на методиці отримання найбільш важливих у практичному відношенні функцій. Основними в першій групі є функції Dx і Nx:
де v - дисконтний множник за складною ставкою i, w>- Граничний вік, врахований в таблиці смертності.
За визначенням:
У деяких актуарних розрахунках необхідні суми комутаційних чисел Dx для заданих вікових інтервалів. У цих випадках можна скористатися комутаційними числами Nx:
На практиці застосовуються ще два варіанти функції Nx, до яких звертаються тоді, коли платежі здійснюються m разів на рік. Так, для платежів постнумерандо з достатньою для практичних розрахунків точністю застосуємо такий вираз:
Для платежів пренумерандо
Найбільш важливими комутаційними функціями другої групи є Сх і Мх:
Між комутаційними числами обох груп існують певні взаємозалежності:
Аналогічно можна довести, що
