Фрактальні властивості виявляються за умови:.
Конструктивний фрактал - найпростіший фрактальний об'єкт. Для того щоб побудувати конструктивний фрактал необхідно задати породжує перетворення і породжує елемент.
. Змія (крива) Гаспері
Породжує перетворення:
Якщо як породжує елемента взяти просто відрізок і подіяти породжує перетворенням спочатку на цей відрізок, потім на відрізки отриманої ламаної, то на n-му кроці теж отримаємо ламану, а в межі при виникає фрактальний об'єкт не є ламаної.
13. Парадокс Гаспері
Якщо як породжує елемента взяти правильний шестикутник, вийде так званий острів Гаспері. Із семи островів Гаспері можна скласти один великий острів, площа якого в сім разів більше площі маленького. Однак ставлення периметрів виявляється рівним рівно трьом. Тому можна зробити висновок, що коефіцієнт подібності k=3, а значить відношення площ k? =9.
Це протиріччя вдається вирішити введенням поняття фрактальної розмірності. Якщо збільшений в x раз фрактальний фрагмент містить y копій вихідного фрагмента, то фрактальної розмірністю D називають ступінь, в яку треба звести x, щоб отримати y.
У разі фрактала Гаспері збільшений в раз фрагмент () містить рівно 3 копії вихідного фрагмента, тому фрактальна розмірність його:
Для звичайних Евклідових ліній збільшений в x раз фрагмент повинен містити x своїх копій.
Тому звичайні лінії мають розмірність D=1. Таким чином, можна собі уявить, що змія Гаспері вже нелінійний об'єкт, але ще неплоский (двовимірний).
Враховуючи фрактальну розмірність, коефіцієнт подібності k буде не 3, а розраховується за формулою:
Тоді й ставлення площ більшого і меншого островів Гаспері буде:
Таким чином, парадокс Гаспері дозволений.
14. Фрактал «Сніжинка Кох»
Породжує перетворення:
Якщо як породжує елемента взяти правильний трикутник, то вийде «острів Кох»
x=3; y=4
15. Серветка Серпінського
Площа серветки в звичному розумінні дорівнюватиме нулю. Це можна пояснити тим, що серветка Серпінського має розмірність меншу двох.
x=2
y=3
Збільшений в 2 рази фрактал містить 3 своїх копії, тому фрактальна розмірність:
. Килим Серпінського
Збільшена в 3 рази фігура містить 8 вихідних фігур, тому x=3, y=8.
Фрактальна розмірність:
. Губка Менгера
Збільшена в 3 рази фігура містить 20 вихідних фігур, тому x=3, y=20. Фрактальна розмірність:
