тральна щільність регулярної послідовності імпульсів
Другою важливою характеристикою імпульсних послідовностей є спектральна щільність, яка визначає міру енергії, що припадає на одиничну смугу частот [5]. Знайдемо спектральну щільність періодичної послідовності імпульсів з постійним періодом T і постійної несучою частотою f 0 як пряме перетворення Фур'є [5]
Визначимо вираз для спектральної щільності одиночного імпульсу (1.1) при A ( t )= A , y ( t )=0 і j 0=0. Підставами в (1.11) вираз (1.1), з урахуванням введених обмежень, отримуємо
Скористаємося формулою Ейлера
і винесемо постійні множники за знак інтеграла, отримуємо наступний вираз
Оскільки значення сигналу відмінні від нуля тільки в межах від - t І / 2 до t І/2, то й інтегрування будемо проводити в цих межах. Інтеграли є табличними, вирішенням яких є вирази
З урахуванням того, що
отримуємо остаточний вираз для спектральної щільності одиночного імпульсу
Якщо чисельник і знаменник кожного дробу вирази (1.13) помножити і поділити на t І / 2, то отримаємо вираз для спектральної щільності, яке визначається через функцію синус Котельникова (1.6), тобто
На рис. 1.9 наведені спектральні щільності одиночного імпульсу, розраховані за співвідношенням (1.14) при A =1 і f 0=0, 5, 10 кГц засобами програми математичного моделювання MathCAD.
f 0=0 кГц f 0=5 кГц
f 0=10 кГц
Рис. 1.9 Спектральні щільності одиночного імпульсу при різних значеннях f 0
Визначимо вираз для спектральної щільності послідовності з N імпульсів, що мають постійний період T . При цьому значення сигналу стають відмінними від нуля в межах - t І / 2 .. t І / 2, - t І / 2 + T .. t І / 2 + T , - t І / 2 +2 T .. t І / 2 +2 T , ... - t І / 2 + ( N - 1) T .. t І / 2 + ( N - 1) T , в таких же межах будемо інтегрувати (1.12). Кожен інтеграл у правій частині (1.12) буде сумою з N інтегралів з межами інтегрування - t І / 2 .. t І / 2, - t І / 2 + T .. t І / 2 + T , - t І / 2 +2 T .. t І / 2 +2
