значається формулою
cij = ? aij (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n)
Те, що матриця C є результатом множення матриці A на число ?, записується у вигляді C =? A.
Для будь матриці A і будь-яких чисел ?,? ГЋ R:
В· 1 В· A = A;
В· ? (? A ) = (?? ) A.
Для будь-яких матриць A і B одного і того ж розміру і будь-яких чисел ?,? ГЋ R:
В· (? +?) A =? A +? A;
В· ? ( A + B ) =? A +? B.
Операції складання і множення на число називають лінійними операціями.
Множення матриць
Твором матриці A = (aij) розміру m Г— n і матриці B = (bij) розміру n Г— l називається матриця C = (cij) = A В· B розміру m Г— l, елементи якої визначаються формулою:
.
Те, що матриця C є твором матриць A і B, записується у вигляді C = A В· B.
Зауважимо, що добуток матриць A і B визначено тільки, якщо число стовпців матриці A дорівнює числу рядків матриці B.
Взагалі кажучи, A В· B? B В· A (навіть для квадратних матриць одного і того ж розміру).
Якщо A В· B = B В· A, то матриці називаються перестановки або комутативними.
Квадратна матриця, всі елементи якої, стоять на головній діагоналі, дорівнюють одиниці, а решта - нулю, тобто матриця виду
В
називається одиничною матрицею.
Для будь квадратної матриці A
В· E = E В· A = A,
де E - одинична матриця того ж порядку що й A.
В· Множення матриць асоціативно, тобто виконується рівність
(A В· B) В· C = A В· (B В· C)
В· Множення матриць дистрибутивно по відношенню до додавання, тобто якщо визначено вираз A В· (B + C), то
В· (B + C) = A В· B + A В· C.
Зведення матриці в натуральну ступінь. Многочлен від матриці
Натуральна ступінь квадратної матриці обчислюється за формулою:
An = A В· A В· ... В· A n раз (n ГЋ N).
Отже, якщо f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anx n - многочлен n-го ступеня (n ГЋ N) щодо x, то
f (A) = a0E + a1A + a1A2 + ... + an An,
де A - квадратна матриця порядку n і E - одинична матриця того ж порядку.
ТЕМА 2. Визначники
Основні поняття
Нехай A = (aij) (i, j = 1, ..., n) - квадратна матриця порядку n.
Определителем (або детермінантом) матриці A називається число, яке ставиться у відповідність цій матриці і може бути обчислено по її елементах. Позначається визначник матриці A символами
В
Визначник матриці n Г— n називається визначником n-го порядку.
Правило обчислення визначників
1. Визначником матриці 1 Г— 1, що складається з одного числа, будемо вважати само це число.
. Визначник матриці 2 Г— 2 обчислюється за формулою:
В
. Визначник матриці 3 Г—
