="justify"> 3
В
обчислюється за правилом Саррюса: приписати до визначника справа два перших шпальти, не змінюючи їх порядку, і скласти суму добутків елементів головної діагоналі і елементів, паралельних їй, з якої потім відняти суму добутків елементів побічної діагоналі і елементів паралельних їй.
Щоб сформулювати загальне правило обчислення визначника, введемо поняття додаткового мінору і алгебраїчного доповнення елемента матриці:
Додатковим мінором Mij елемента матриці n-го порядку aij (i, j = 1, ..., n) називається визначник матриці n? 1-го порядку, отриманої з матриці A викреслюванням i-го рядка і j -го шпальти, на перетині яких стоїть даний елемент.
Алгебраїчним доповненням Aij елемента матриці n-го порядку aij (i, j = 1, ..., n) називається число (? 1) i + j Mij, де Mij - додатковий мінор.
Визначник матриці A n-го порядку може бути обчислений за будь-який з формул:
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin (i = 1, ..., n)
розкладання по i-му рядку або
det A = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj (j = 1, ..., n)
розкладання по j-ому стовпцю.
Властивості визначників
1. При транспонировании матриці величина її визначника не змінюється, тобто
AT = det A.
2. Звідси випливає, що будь-яке твердження, справедливе для стовпців визначника, справедливо також і для рядків.
3. При перестановці двох стовпців (або рядків) матриці її визначник змінює знак на протилежний.
. Якщо матриця має два однакових стовпця (або дві однакові рядки), то її визначник дорівнює нулю.
. Якщо всі елементи якого-небудь стовпця (або рядка) матриці помножити на одне і те ж число, то її визначник множиться на це число.
. Якщо матриця містить стовпець (рядок), що складається з нулів, то її визначник дорівнює нулю.
7. Якщо елементи якого-небудь стовпця (рядки) матриці являють собою суму двох доданків, то визначник цієї матриці можна представити у вигляді суми двох визначників.
8. Якщо відповідні елементи двох стовпців (рядків) матриці пропорційні, то її визначник дорівнює нулю.
. Якщо до елементів якого-небудь стовпця (рядки) матриці додати відповідні елементи іншого шпальти (рядки), помножені на одне і те ж число, то величина визначника не зміниться .
. Сума добутків елементів будь-якого шпальти (рядки) матриці на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого стовпця (рядки) дорівнює нулю.
ТЕМА 3. Ранг матриці
Основні поняття
Мінором к-го порядку довільній матриці А називається визначник, складений з елементів матриці, розташованих на перетині будь-яких до рядків і до стовпчиків.
Рангом матриці А (rang A або r (A)) називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці.
Базисним мінором називається будь-який з мінорів матриці А, порядок якого дорівнює r (А).
Властивості рангу матриці
а) якщо матриця А має розміри m ' n, те rang A ВЈ min (m; n);
б) rang A = 0 тоді і тільки тоді, коли всі елементи матриці А дорівнюють 0;
в) якщо матриця А - квадратна порядку n, то rang A = n тоді і тільки тоді, коли Г· А Г· & # 1 85; 0.
Елементарні перетворення
Елементарні перетворення, що не міняють рангу матриці:
а) відкидання нульової рядка (стовпця);
б) множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на число, не рівне нулю;
в) зміна порядку рядків (стовпців) матриці;
г) додаток до кожного елементу одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число;
д) транспонування ма...
