я Лагранжа стверджує, что в стані рівновагі повна енергія системи має стаціонарне значення.
Варіаційній принцип Лагранжа Полягає в тому, что Із всех переміщень, что пріймають задані значення на поверхні тела, насправді мают місце ті, при якіх повна енергія системи Мінімальна.
Дійсно, если Тіло, Пожалуйста знаходиться в стані стійкої рівновагі, під дією якось зовнішньої сили Дещо змініть свою форму, то после ліквідації цієї Дії воно знову позику Первін положення. При поверненні у віхідне положення буде вчинити робота, тобто вівільніться Деяка Кількість потенціальної ЕНЕРГІЇ. Значити, в сусідньому положенні Тіло володіє більшою потенціальною енергією, чем в положенні стійкої рівновагі.
2.2 Варіаційна постановка задачі
Функціонал потенціальної ЕНЕРГІЇ деформації Складення трівімірного тела можна Записатись у виде
, (2.5)
де
, (2.6)
известно, что крайова задача (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) еквівалентна задачі мінімізації функціонала (2.6) на множіні геометрично допустимих векторів, что задовольняють Головні ГРАНИЧНІ умови (1.4?) та умови ідеального контакту (1.5).
подам задачу мінімізації функціонала (2.5) в Дещо ІНШОМУ запісі. З цією метою введемо множини
(2.7)
и візначімо, что КОЖЕН вектор Із задовольняє умови неперервності (1.5?) на межах контакту та Головні крайові умови (1.4?).
З Огляду на вирази (2.6), Рівняння (1.1) та співвідношення (1.8) та (1.11) Тепер можна сформулюваті відповідну (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) задачу мінімізації у виде:
(2.8)
Де
. (2.9)
3. Метод скінченних елементів
3.1 Теоретичні основи методу скінченних елементів
Метод скінченних елементів є потужном сучасним засобими набліженого розв язування різноманітніх завдань математичної фізики, что є орієнтованім на Ефективне использование комп ютерів.
Основна концепція МСЕ Полягає в розбітті області розрахунково сіткою на скінченні елементи, побудові матриці жорсткості, пріведенні НАВАНТАЖЕННЯ до Вузловий для шкірного скінченого елемента.
Під скінченнім елементом нужно розуміті НЕ лишь Деяк малу область тела, а область тела в сукупності Із завданням у ній апроксімаційнімі функціямі.
Коженая елемент опісується характерними точками, что назіваються Вузли . Вузли звічайна знаходяться в Кутового або крайніх точках елемента, но могут буті такоже розташовані между Кутового Вузли та в середіні елемента. Дані розходження зв'язане з порядком апроксімації, что Забезпечує Сейчас скінченній елемент. Елементи, что мают только кутові Вузли, назіваються лінійнімі и забезпечують лінійну інтерполяцію. Елементи, что мают додаткові Вузли на своих границях между Кутового Крапка, могут Забезпечувати Квадратичність або даже кубічну інтерполяцію. У Першому випадка Такі елементи назіваються Квадратичність . Відзначімо такоже, что існують елементи, что мают внутрішні Вузли. Теоретично Такі елементи забезпечують більш Точний описание геометрії тела и шуканіх функцій, однак широкого Поширення Сейчас тип елементів НЕ здобувши. При наявності СУЧАСНИХ автоматичних генераторів сітки часто буває простіше та зручніше Розбита конструкцію на более число лінійніх елементів простої форми, аніж использование елементів високого порядку. Елементи, что НЕ мают внутренних вузлів, відносяться до серендіпового типом .
Коженая елемент характерізується такоже кількістю ступенів вільності. Завдяк спільнім щаблях вільності відбувається збір моделі и формирование глобальної матриці жорсткості. Як Ступені вільності могут фігуруваті вузлові значення невідомої Функції або ее Похідні по просторова координатах у вузлах. У Першому випадка елементи відносяться до типу лагранжевих елементів; у іншому випадка - до типу ермітовіх елементів.
У просторова завданнях найбільш пошірені Такі форми скінченних елементів, як тетраедрі, троли та гексаедрі.
3.2 Алгоритм чисельного розв язування варіаційної задачі
Метод скінченіх елементів є методом знаходження мінімуму функціоналу.
Візначімо - скінченновімірній підпростір Із розмірності. Віберемо у базісні Функції,.
Це могут буті білінійні або квадратічні Функції МСЕ. Функції галі назіваються апроксімуючімі. Тоді шукані переміщення можна Записатись у такому виде:
. (3.1)
де? загальне число...
