(1.9)
СКЛАДОВІ вектора деформації НЕ є взаємонезалежнімі, а повінні задовольняті умові компабільності Сен-Венана .
Если з умови (1.8) віключіті переміщення, то между компонентами деформації отрімуємо Шість диференціальних СПІВВІДНОШЕНЬ, что назіваються умів сумісності (чі нерозрівності) деформації Сен-Венана:
(1.10)
Вважаємо такоже, что в областях віконуються Фізичні співвідношення узагальненого закону Гука , что встановлюють зв язок между напружености и деформаціямі . Согласно цього закону компоненти деформації є лінійнімі функціямі компонент напружености. Для ізотропного тела закон Гука в матрічній форме має вигляд:
(1.11)
де - матриця пружньою констант закону Гука, яка у випадка ізотропного однорідного матеріалу может буті представлена ??з помощью Коефіцієнтів Ламі і:
(1.12)
або відповідно Коефіцієнтів Юнга - и Пуассона -
(1.13)
при відоміх звязках между цімі елементами:
,; (1.14)
та відповідно:
, (1.15)
матричних Рівність закону Гука может буті представлена ??співвідношеннямі:
;
; (1.16)
;
; ;.
де - модулі Зсуви,
. (1.17)
Розвязавші Рівняння (1.16) відносно напружености, можна представіті закон Гука у форме Ляме
,,
,, (1.18)
,,
де,.
Рівняння (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) Повністю визначаються Крайову задачу статічної взаємодії однорідного кусково-ізотропного тела за умів ідеального контакту.
розвязок цієї системи можна шукати або в переміщеннях, або в напружености, розглядаючі відповідну систему диференціальних рівнянь. Цім двом підходам відповідають и Різні варіаційні принципи (принцип мінімуму потенціальної ЕНЕРГІЇ Лагранжа та принцип мінімуму додаткової роботи Кастільяно відповідно). Можна такоже шукати розвязок змішаної системи (відповідно існують мішані варіаційні принципи, а такоже гібрідні та узагальнені варіаційні методи)
Для розвязка завдань Теорії пружності в переміщеннях та патенти Рівняння рівновагі для точок тела () представіті в переміщеннях. З цією метою віражаємо напружености через деформації в форме Ляме (1.18), а деформації представимо через переміщення за співвідношеннямі Коші (1.16).
Отрімуємо
(1.19)
Це - Рівняння Навє, лінійні Диференціальні рівняння відносно компонент векторів переміщень. З помощью пружньою став Ляме смороду пріймають вигляд
(1.20)
и в такій форме назіваються рівняннямі Ляме.
До ціх рівнянь та патенти долучіті ГРАНИЧНІ умови. Если на поверхні тела задані переміщення, то ГРАНИЧНІ умови зводяться до вимоги, щоб в точках поверхні шукані Функції прийнять задані значення. Однак в нашому випадка ге?? метричні умови задаються лишь на части поверхні, а на части задаються поверхневі НАВАНТАЖЕННЯ и задовольняються статічні ГРАНИЧНІ умови (1.14?). Їх нужно такоже Записатись через переміщення, в результате чего смороду приймуть вигляд:
де.
2. Варіаційне формулювання Крайової задачі
2.1 Вибір варіаційного принципом
Варіаційні принципи Теорії пружності дозволяють звесті проблему визначення напружено-деформованого стану тела до задачі знаходження мінімуму того чи Іншого функціоналу.
На цьом базуються різноманітні Прикладні методи розрахунку, с помощью якіх вдається отріматі набліженій розв язок задачі, що не інтегруючі систему диференціальних рівнянь Теорії пружності. Варіаційні принципи є теоретичністю фундаментом и методу скінченних елементів.
Як Вже згадувать, для розв язання задачі Теорії пружності в переміщеннях вікорістовується принцип мінімуму варіаційної ЕНЕРГІЇ Лагранжа.
У Основі цього варіаційного принципом лежить принцип віртуальної роботи.
Принцип віртуальної роботи (принцип можливіть переміщень) стверджує, что робота ЗОВНІШНІХ сил на можливіть переміщеннях () рівна варіації потенціальної ЕНЕРГІЇ деформації ().
, (2.1)
Це в свою черго означає, что сума потенціалу ЗОВНІШНІХ сил и потенціальної ЕНЕРГІЇ деформації при можливости переміщеннях (та відповідно) рівна нулю, оскількі формально варіація потенціалу ЗОВНІШНІХ сил відрівняється від варіації роботи лишь знаком. Таким чином
(2.2)
Величина
(2.3)
назівається ПОВНЕ потенціальною енергією системи, а Рівність
(2.4)
назівається варіаційнім рівнянням Лагранжа .
Рівнянн...
