однієї прямої
Нехай матеріальна точка одночасно бере участь у двох коливаннях, що відбуваються уздовж однієї прямої, наприклад, уздовж осі. Частоти коливань однакові, а різниця фаз є. Тоді рівняння коливань мають вигляд
,.
При додаванні цих двох коливань отримаємо
.
Очевидно, що амплітуда результуючого коливання буде залежати від різниці фаз. Так, якщо, де, то, тобто амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі амплітуд коливань. Якщо, то, тобто амплітуда результуючого коливання дорівнює різниці амплітуд і коливання відбуваються з мінімальною амплітудою. Якщо амплітуди коливань, що складаються рівні, то в цьому випадку коливань взагалі відбуватися не буде.
Затухаючі коливання
Вище було розглянуто випадок, коли опір відсутній і на тіло діє тільки сила. У всіх реальних випадках крім цієї сили на тіло діє сила опору, яка зазвичай вважається пропорційної швидкості і спрямованої в бік, протилежний швидкості:
,
де - постійний коефіцієнт. Тоді з другого закону Ньютона маємо
, (18.10)
Або
,
причому, - частота власних коливань системи в відсутність загасання,, де - коефіцієнт загасання. Очевидно, чим більше і чим менше, тим швидше будуть затухати коливання.
Рішення рівняння (18.10) має вигляд:
, (18.11)
де. Коливання, описувані рівнянням (18.11), строго кажучи не є періодичними. Такі коливання прийнято називати затухаючими коливаннями з періодом
.
На рис. 18.3 наведено графік залежності. Амплітуда змінюється за експоненціальним законом (штрихова лінія). Якщо силою опору знехтувати не можна, то механічна енергія в процесі коливань безперервно зменшується, переходячи у внутрішню енергію. Амплітуда коливань буде зменшуватися, і коливання поступово затухнуть.
Вимушені коливання
Для підтримки коливань в системі необхідно, щоб діяла сила, робота якої компенсувала б зменшення механічної енергії. Ця сила повинна бути змінною, так як постійна сила може тільки змінити положення рівноваги, але не може сприяти підтримці коливань в системі. Таким чином, на систему, що здійснює коливання повинна діяти змушує сила
,
де - амплітуда змушує сили, - її частота. Крім змушує сили на тіло діє сила пружності (або квазіупругая сила) і сила опору. З другого закону Ньютона в цьому випадку маємо
. (18.12)
Власні коливання в системі затухнуть, отже, змушені коливання відбуваються з частотою змушує сили. Коливання, що відбуваються під дією змушує сили, називаються вимушеними коливаннями. Рівняння вимушених коливань має вигляд
, (18.13)
де - амплітуда вимушених коливань, - фаза, що визначаються співвідношеннями
,
. (18.14)
З (18.14) видно, що амплітуда і фаза залежать від співвідношення між частотою власних коливань і частотою змушує сили. При збігу цих частот амплітуда коливань буде різко зростати. Це явища отримала назву резонансу. Резонансна амплітуда залежить від опору середовища (рис. 18.4). Кривий 1 відповідає менший опір середовища, ніж кривої 2. При, і відповідно рівняння коливань має вигляд. Тоді швидкість змінюється за законом. З останнього...
