улу (9), просто
знаходити наближене рішення задачі Діріхле для області даної кордоном за будь-яких граничних значеннях.
Недоліком розглянутого варіанту методу Монте-Карло для задачі Діріхле є слабка збіжність за ймовірністю при емпіричного математичного очікування
до математичного сподівання. Щоб усунути цей несприятливий обставина, використовують різні модифікації випадкових блукань. Крім того, при вирішенні завдання корисно враховувати також, що блукання частинки, що починається в точці автоматично є випадковим блуканням частинки, начинающимся в будь-якій проміжній точці траєкторії цієї частки [4, c.129].
Вкажемо інший метод Монте-Карло для вирішення задачі Діріхле для рівняння Лапласа, не пов'язаний з різницевими рівняннями. Нехай задана обмежена зв'язкова область і крапка. Визначимо випадкову траєкторію наступним чином: покладемо; далі, якщо точка відома, то побудуємо коло довільного радіуса, розташовану всередині, і на цій окружності виберемо випадкову точку.
Таким чином,, де, і кут рівномірно розподілений в інтервалі.
Наведемо теорему: якщо функція задовольняє в області рівнянню Лапласа
, (1)
то при кожному і при будь-яких математичне очікування дорівнює значенню на початку траєкторії [12, c.204].
Доказ. Надамо більш точний сенс твердженням про довільність радіусу. Будемо вважати, що задана деяка площину, яка тотожно дорівнює нулю при всіх, переважаючих мінімальна відстань від до кордону, а також при; випадок також допускається; і вибір здійснюється відповідно до щільністю. Нехай - щільність розподілу точки в. Тоді математичне очікування величини одно
.
За теоремою про середнє значення гармонійної функції
.
Тому
.
При точка і. Застосовуючи індукцію, отримаємо твердження теореми.
Побудова траєкторій розглянутого типу в тривимірному випадку іноді називають блуканням сферам.
Наведену вище траєкторію можна використовувати для наближеного рішення задачі Діріхле. Нехай на кордоні області задана обмежена функція. Позначимо через шукане рішення, що задовольняє всередині рівнянню (1) і яка звертається до прі.
Фіксуємо досить малу околиця кордону (рис. 3, Додаток D). Щоб обчислити, будемо будувати траєкторії виду до тих пір, поки випадкова точка не потрапить в. Нехай - найближча до точка кордону. Можемо вважати, що значення випадкової величини наближено одно. Побудувавши траєкторій такого типу, отримаємо значення, за якими оцінюється шукане рішення
. (2)
Замети, що збіжність за ймовірністю
, (3)
коли не випливає з теореми Хинчина, що говорить про те, що послідовність однаково розподілених незалежних величин, у яких існують математичні очікування, підкоряється закону великих чисел, так як в сумі (3) фігурують різних випадкових величин, що розрізняються правилами вибору Можна, однак скористатися іншою формою закону великих чисел - теоремою Чебишева [14, c.150]:
Якщо величини незалежні і існує і, то п?? і
(Доказ цієї теореми легко отримати, застосовуючи до величини нерівність Чебишева -).
У нашому випадку все, а дисперсії, де. Справді, як відомо, максимум і мінімум гармонійної функції досягаються на кордоні області, так що при всіх.
Такий метод розрахунку вважається більш швидким, чим метод використання різницевих рівнянь, тому що удалині від кордону дозволяє робити великі кроки. Зазвичай рекомендують вибирати максимально можливі радіуси.
Даний метод був запропонований Дж. Брауном і обгрунтований М. Мюллером, який довів, зокрема, що ймовірність того, що траєкторія ніколи не потрапить в, дорівнює нулю. Подальший розвиток методу - організація залежних випробувань, рішення рівнянь більш загального вигляду, використання замість кіл інших фігур (для яких відомі функції Гріна) [3, c.102].
Нехай - рішення рівняння Лапласа в одиничному квадраті, яке задовольняє граничним умовам. Обчислити значення.
Виберемо в квадраті сітку з кроком і перенумеруем вузли (рис. (4), Додаток Е). Для рівняння Лапласа формула (8) все більш спрощується:, так що дорівнює значенню в тому вузлі, в якому ланцюг потрапляє на кордон.
Якщо випадкова цифра виявиться 0 або 4, то будемо переміщатися в сусідній вузол праворуч, якщо виявиться 1 або 5, то будемо переміщатися вліво, виявиться 2 або 6, то переміщатися вгору, якщо виявиться 3 або 7, то переміщатися вниз; значення, рівні 8 або 9, опускаємо.
У таблиці 2 (Додаток F) наведені 16 випадкових ланцюгів. У першому рядку записані використані випадкові цифри, а в третій - сама ланцюг (номера). Відповідні цих ланцюгах значення рівні. Середнє арифметичне цих величин дає нам наближене значення рішення в точці:...
