(1.56)
Оскільки гра не має сідлової точки, то нерівність (1.54) заміняють чи не рівність
(1.56)
Для вирішення систем (1.56), (1.55), (1.53) доцільно скористатися графічним методом. З метою введемо позначення для лівої частини нерівності (1.53)
матричний гра математичний модель
(1.57)
або, поставивши з (1.55) і провівши прості перетворення, отримаємо
(1.58)
де - це середній виграш першого гравця за умови, що він застосовує свою змішану стратегію, а другий свою j-ю чисту стратегію. []
Кожному значенню j=1, 2, ..., n згідно виразу відповідає пряма лінія в прямокутній системі координат.
Мета другого гравця мінімізувати виграш першого гравця за рахунок вибору своїх стратегій. Тому обчислюємо
(1.59)
де - нижня межа безлічі обмежень. На малюнку 1.6 графік функції зображений жирної линів.
Малюнок 1.6 - графік функції
Мета першого гравця максимізувати свій виграш за рахунок вибору, тобто обчислити
(1.60)
На малюнку 1.6 точка означає максимальне значення, яке виходить при. Ціна гри, так як: [1]
(1.61)
Таким чином графічно визначається оптимальна змішана стратегія першого гравця і пара чистих стратегій другого гравця, які в перетині утворюють точку На малюнку 1.6 зображені 2-а і 3-я стратегія другого гравця. Для таких стратегій нерівності (1.53) перетворюються в рівності. На малюнку 1.6 це стратегії j=2, j=3.
Тепер можна вирішити систему рівнянь
(1.62)
і точно визначити значення і (графічно вони визначаються наближено). Потім поклавши всі значення при тих j, для яких не утворюють точку, вирішуючи систему рівнянь (1.56) Для прикладу, наведеного на малюнку 1.6, це наступна система:
(1.63)
а решта Цю систему можна вирішити, полога Якщо при деякій j=j 0 стратегії другого гравця утворюють точку М 0 і то максимальне значення нижньої межі множин обмежень зображується відрізком, паралельним осі У цьому випадку перший гравець має нескінченно багато оптимальних значень а ціна гри Цей випадок зображений на малюнку 1.7, де і відрізок MN зображують верхнє обмежень, оптимальні значення знаходяться в межах У другого гравця є чиста оптимальна стратегія j=j 0.
Матричні гри порядку m 2 вирішуються також за допомогою графічного методу. Матриця виграшів першого гравця в цьому випадку має вигляд
(1.64)
Змішані стратегії відповідно першого і другого гравців визначаються аналогічно, як у випадку ігр порядку 2 n. Хай по горизонтальній осі відкладається значення від 0 до 1, по вертикальній - значення середнього виграшу) першого гравця за умов, що перший гравець застосовує свою чисту i-ю стратегію (i=1, 2, ..., m), другий - свою змішану стратегію (y 1, 1 y 1)=y. Наприклад, при m=4 графічно) можуть бути представлені так, як зображено на рисунку 1.7. [1]
Малюнок 1.7 - графік функції)
Перший гравець намагається максимізувати свій середній виграш, тому він прагнути знайти
(1.65)
Де
(1.66)
Функція зображена жирною линів і являє собою верхню межу безлічі обмежень. Другий гравець намагається мінімізувати за рахунок вибору своєї стратегії, тобто величина відповідає [1]
(1.67)
На малюнку значення позначено точкою. Іншими словами визначаються такі дві стратегії першого гравця і ймовірність для другого гравця, при яких досягається рівність
(1.68)
Або
(1.69)
З малюнка бачимо, що ціна гри - це ордината точки, ймовірність - це абсциса точки. Для решти чистих стратегій першого гравця в оптимальній змішаної стратегії має ().
Таким чином, вирішуючи систему (1.69), одержимо оптимальну стратегію другого гравця і ціну гри. Оптимальну змішану стратегію для першого гравця знайдемо, вирішуючи таку систему рівнянь:
(1.70)
. 7 Матрични...
