функцій маємо, тобто, звідки видно, що ця лінія є векторною лінією поля, т.е. лінією струму (траєкторією частинок рідини). Тому називають функцією струму.
Побудуємо тепер комплексну функцію
, (19)
яку називають комплексним потенціалом поля. Порівнюючи співвідношення (17) і (18), ми бачимо, що в плоскопаралельному поле виконуються умови:
,. (20)
Вони збігаються з умовами комплексної дифференцируемости і, отже, показують, що комплексний потенціал f є функцією, голоморфної в точці.
У векторному аналізі доводиться і зворотний, т.е будь-яку голоморфних в точці функцію можна розглядати як комплексний потенціал векторного поля, потенційного і соленоідального в околиці, яке можна трактувати як поле швидкостей деякого течії рідини.
Таким чином, голоморфних функцій означає, що цю функцію можна трактувати як комплексний потенціал плоскопараллельного сталого плину рідини, потенційного і соленоідального.
Очевидний гідродинамічний зміст похідної
, (21)
т.е. похідна комплексного потенціалу являє собою вектор, комплексно пов'язаний вектору швидкості плоскопараллельного течії [38, с. 40].
3.1.1 Лінії струму в механіці суцільних середовищ
Лінією струму називають лінію, в кожній точці якої дотична до неї збігається за напрямком зі швидкістю частки рідини або газу в даний момент часу.
Властивості лінії струму:
1) через кожну точку простору проходить тільки одна лінія струму, тобто лінії струму не перетинаються;
2) для стаціонарного руху лінія струму є траєкторією частинок, тобто частка не може перейти з однієї лінії на іншу лінію [12, c. 30].
Малюнок 7 - Лінія струму
Найпростішим випадком рухів в механіці суцільних середовищ є плоскопаралельні течії. Для їх опису досить 2-х змінних.
Згідно з визначенням лінії струму, векторний добуток
,
звідки випливає, що, тоді отримаємо диференціальне рівняння ліній струму
. (22)
3.1.2 Функція струму
З рівняння (14) слід
. (23)
Вибираючи інтегруючий множник для рівняння (23), отримаємо повний диференціал деякої функції у вигляді
, (24)
звідки випливає, що
.
З рівняння (24) випливає формула
, (25)
т.е. для різних значень констант, маємо різні лінії струму, тобто рівняння (25) дає сімейство ліній струму, тому функцію називають функцією струму.
.1.3 Умова потенційності поля швидкостей
Розглянемо безвіхревое поле, тобто поле швидкостей, в якому немає вихорів, т.е.
.
Але - це векторне твір, який дорівнює нулю для колінеарних векторів т.е.
.
Це означає, що або, де - скалярний потенціал,
т.е. ,
Якщо функція, то вона виражає сімейство еквіпотенціалью, тобто у всіх точках однієї і тієї ж еквіпотенціалі однакові значення функції.
Сімейство кривих, званих еквіпотенціалью, і сімейство кривих, званих лініями струму, є взаємно ортогональними, т.е
, (26)
так як
Ці два сімейства рівноправні. Отже, лінії струму і еквіпотенціалі математично взаімнозаменяеми. Це широко використовується при вивченні і побудові течій.
3.1.4 Комплексний потенціал в механіці суцільних середовищ
Зв'язок функцій і здійснюється умовами Коші-Рімана і вказує, що і можна розглядати як дійсну та уявну частини аналітичної функції w від комплексного змінного:
, (27)
де.
Функція є комплексним потенціалом, а, - відповідно його дійсною і уявною частинами. Похідна аналітичної функції (не залежна в силу умов Коші-Рімана від напрямку зміни) може бути записана у вигляді [12, c. 71].
. (28)
Вираз можна розглядати як вектор швидкості, для якого і відповідно проекції на осі х і у. Вираз, який є сполученої функцією, є дзеркальне відображення вектора швидкості по відношенню до осі, паралельної осі х (малюнок 8). Вираз (28) називається комплексною швидкістю. По модулю комплексна швидкість дорівнює модулю вектора швидкості, т.е.
Малюнок 8 - Дзеркальне відображення вектора швидкості
. (29)
3.2 Про роль функції Жуковського в механіці суцільних середовищ
.2.1 Перша наукова стаття про використання функції Жуковського
Вперше завдання про обтікання шпунта розглядалася Н.Є. Жуковським в 1950 році в статті «Просочування води через греблі», в якій видозмінений ним метод Кірхгофа в теорії струменів був використаний для вирішення завдань фільтрації з вільно...
