? tni=Fi (t, x, ui, ..., uN, ...,? auj? ta0? xa11 ...? xann, ...),
де x=(x1, ..., xn), a=a0 + a1 + ... + an, a? nj, a0? nj? 1, i, j=1, ..., N, тобто число рівнянь дорівнює числу невідомих, називається системою Ковалевської. Незалежна змінна t виділяється тим, що серед похідних найвищого порядку ni кожної функції системи міститься похідна за t порядку ni і система дозволена відносно цих похідних.
Використовується наступне позначення:
Da? ? ki (x) =? a? ? ki (x)? xa11 ...? xann,
де a?=a0 + a1 + ... + an, ai? 0, i=1, ..., N
Формулювання:
Якщо всі функції? ki (x) аналітичне в околиці точки x0=(x01, ..., x0n), а функції Fi визначені і аналітичне в околиці точки (t0, x01, ..., x0n,? ki (x0), ..., Da?? ki (x0), ...), то задача Коші має аналітичне рішення в деякій околиці точки (t0, x01, ..., x0n), єдине в класі аналітичних функцій.
Теорема Ковалевської про існування аналітичних (тобто представлені у виді статечних рядів) рішень рівнянь з приватними похідними знаходить численні застосування в усіх найважливіших розділах сучасної теорії диференціальних рівнянь і суміжних областях математики. Її використання істотно в доказах багатьох важливих і важких теорем.
Формулювання теоремі Коші-Ковалевської для найпростішого звичайного диференціального рівняння з початковою умовою (0)=0.
Якщо функція f (x, y) є аналітичною функцією x і y в околиці точки (0, 0), то існує єдине аналітичне рішення y (x) рівняння (1) в деякій околиці точки x= 0, задовольнить початковому умові (2).
Доказ аналогічної теореми для диференціального рівняння будь-якого порядку і для системи таких рівнянь О. Коші провів методом мажоранту. Метод мажоранту на прикладі задачі (1), (2) полягає в наступному. Функція f (x, y) в рівнянні (1) замінюється мажоранту, тобто аналітичною функцією F (x, y), коефіцієнти розкладання якої в степеневий ряд ненегативні і не менше модулів відповідних коефіцієнтів розкладання в степеневий ряд функції f (x, y). Мажоранту вибирається по можливості настільки простий, щоб рівняння (1) інтегрувалося в явному вигляді, тобто з явного виду рішення y (x) завдання слідувала б збіжність відповідного степеневого ряду, який є, очевидно, мажоранту для вирішення завдання (1), (2 ). Коші користувався мажоранту виду, що призводило до громіздким обчисленням. С.В. Ковалевська, мабуть, не знала цих робіт Коші; ніяких посилань на них в її роботах немає (цікаво відзначити, що Коші є автором 789 опублікованих робіт, не рахуючи декількох об'ємистих монографій). На початку своєї роботи вона призводить формулювання теорем існування аналітичних рішень звичайних диференціальних рівнянь і зазначає, що вони взяті з лекцій шановного вчителя пана Вейєрштрасса raquo ;. С.В. Ковалевська в своїй роботі довела теорему про існування аналітичного рішення, що задовольняє заданим початковим умовам, спочатку для квазилинейной системи рівнянь з приватними похідними першого порядку, а потім для загальної нелінійної системи будь-якого порядку нормальної форми шляхом зведення її до квазилинейной системі. Відомий французький математик А. Пуанкаре (1854-1912) писав: Ковалевська значно спростила доказ і надала теоремі остаточну форму raquo ;. Для доказу С.В. Ковалевська застосувала метод мажоранту, використовуючи мажоранту виду.
Теорема Ковалевської застосовується там, де потрібно побудувати асимптотичні рішення, тобто рішення, що задовольняють рівнянню лише з певною точністю. Такі рішення використовуються, наприклад, при встановленні необхідних умов коректності задачі Коші для гіперболічних рівнянь з кратними характеристиками - це питання, яке в останні роки привернув увагу багатьох дослідників. Теорема Коші-Ковалевської і її модифікації відіграють основну роль у питаннях теорії гіперфункцій, пов'язаних з вирішуваною лінійних рівнянь з приватними похідними. Всяка гіперфункція може бути представлена ??як сума граничних значень аналітичних функцій. Основна схема рішення рівнянь у гіперфункції полягає в наступному: 1) праві частини, початкові і граничні функції представляються у вигляді сум граничних значень аналітичних функцій; 2) в аналітичних функціях рішення знаходиться застосуванням теореми Коші-Ковалевської; 3) для отримання рішення в гіперфункції беруться граничні значення отриманого аналітичного рішення. Провести два останні етапи вдається не завжди. Цікаво відзначити, що французькі математики Ж.-М. Боні і П. Шапірз довели теорему про існування рішення задачі Коші в класі гіперфункцій для гіперболічних рівнянь з характеристиками довільної кратності. Цей факт не має місця в класі узагальнених функцій.
Таким чином, теорема Ковалевської має глибокий і в певному сенсі завершений характер. Вейерштрасс ...
