впливів істинні значення коефіцієнтів можна визначити тільки наближено. Оцінку b=(b 0, b 1, ..., bh) вектора невідомих параметрів
b знаходять за результатами експериментів, в ході яких отримують значення yu при заданих значеннях факторів
v u. Ці оцінки зазвичай розраховуються за допомогою методу найменших квадратів (МНК) на основі вибірок значень факторів і відгуків системи на впливи. В якості оцінки
? вектора
b вибирається таке значення, яке мінімізує
,
де y 'u - обчислене на моделі значення функції відгуку в u-й точці факторного простору. Прирівнюючи нулю приватні похідні від даної квадратичної форми, взяті по змінним b 0, b 1, ..., bh, можна отримати систему рівнянь виду
,
де i=0, 1, 2, ..., h. Значення b знаходять шляхом вирішення цієї системи рівнянь. Рішення системи можливе при лінійної незалежності базисних функцій.
Якщо не брати спеціальних заходів, то оцінки коефіцієнтів ? стануть взаємозалежними, і отриманий вираз для функції відгуку можна розглядати тільки як інтерполяційну формулу, що ускладнює її фізичну інтерпретацію і наступні розрахунки. Однак, формуючи спеціальним чином матрицю плану, можна отримати незалежні значення b. І ці величини будуть характеризувати внесок кожного фактора в значення функції відгуку.
Отже, завдання полягає у визначенні загальної форми запису функції відгуку y '. У більшості випадків вид цієї функції, одержуваний з теоретичних міркувань, є складним для практичного застосування, а при неповному знанні об'єкта взагалі невідомий. За даними причин функцію доцільно представити в універсальному, зручному для практичного застосування вигляді, чому відповідає представлення у вигляді полінома. Тоді системою базисних функцій є сукупність статечних функцій з цілими невід'ємними значеннями показників ступеня. Поліноміальна форма подання функції відгуку прийме вигляд
y '= b 0 + b 1 x 1 + ... + bkxk + b 12 x 1 x 2 + b 13 x 1 x 3 + ...
+ bk - 1, k xk - 1xk + + b11x21 + ... + bkkx2k + ... + e,
де e - випадкова величина, що характеризує похибку досліду.
Така функція відгуку линейна щодо невідомих коефіцієнтів і буде повністю визначена, якщо задані ступінь полінома і коефіцієнти. Ступінь полінома зазвичай задається дослідником апріорно і уточнюється в ході дослідження. На практиці найбільшого поширення набули поліноми першого і другого порядку, відповідно лінійні і квадратичні моделі. Коефіцієнти полінома прийнято називати ефектами факторів.
Іноді функцію відгуку доцільно представити в іншому вигляді, наприклад, у вигляді статечної функції, так як досягнення заданої точності вимагає застосування полінома високого порядку. Проте використання функцій, нелінійних щодо невідомих параметрів, ускладнює обчислення, ускладнює оцінку їх властивостей. У деяких випадках завдання можна спростити шляхом штучного перетворення нелінійної функції в лінійну. При цьому потрібно відповідне перетворення і результатів експериментів.
Застосування ТПЕ засноване на ряді припущень, а саме:
. функція відгуку містить у своєму складі невипадкову і випадкову складову. Багато показники якості автоматизованих систем обробки інформації носять випадковий характер. Це вимагає багаторазового повторення дослідів в одних і тих же умовах в цілях отримання статистично стійких результатів, а одержувані оцінки показників повинні мати властивості спроможності, ефективності, незсуненості та достатності. Оцінки типових показників формуються шляхом усереднення результатів спостережень. Тому при досить великій кількості спостережень можна вважати, що випадкова складова e розподілена за нормальним законом з нульовим математичним очікуванням, що дозволяє отримати незміщену оцінку математичного очікування функції відгуку в конкретній точці плану. Будемо також вважати, що величина? має дисперсію, не залежну від значень факторів. Інакше кажучи, результати, отримані шляхом усереднення повторних дослідів в кожній точці плану, являють собою незалежні, нормально розподілені випадкові величини;
. фактори v 1, v 2, ..., vk вимірюються з нехтує малою помилкою в порівнянні з помилкою у визначенні величини y (облік перешкод в завданні чинників призводить до важко вирішуваним проблемам в оцінці коефіцієнтів функції відгуку). Помилка у визначенні значення функції відгуку пояснюється не стільки похибкою вимірювань, скільки впливом на результат роботи системи необлікованих або випадкових факторів, наприклад відмінностями в формованої послідовності випадкових чисел при статистичному мод...
