p>
Видно, що при збільшенні температури від абсолютного нуля частина електронів переходить з рівнів, що лежать нижче, в область більш високих енергій.
Число електронів, які при зміні температури від абсолютного нуля Дот перекидаються з нижчих рівнів на вищі, буде пропорційно k BT і щільності станів dN/dE на рівні Фермі. Енергія кожного з цих електронів збільшується на величину, пропорциональ ную kT. Таким чином, різниця між енергією електронів при температуреТ і при абсолютному нулі дорівнює:
де з-константа; E=E F.
Продифференцировав по даний вираз по температурі отримаємо вираз для питомої теплоємності:
Таким чином, застосовуючи статистику Фермі-Дірака, видно, що питома теплоємність електронів при низьких температурах пропорційна абсолютній температурі, а не залишається постійною, як у класичній статистиці. Порівнюючи формули, отримані за допомогою обумовлених статистик, видно, що поки величина k B Tмала в порівнянні з енергією Фермі, питома теплоємність електронів, згідно статистиці Фермі-Дірака, буде набагато менше свого класичного значення.
Ми бачимо, що статистика Фермі - Дірака призводить до поні жению питомої теплоємності за рахунок множника, який пропорційний температурі і навіть при кімнатній температурі має поря док 10 - 2. Цим пояснюється відсутність спостережуваного вкладу елек тронних ступенів свободи в питому теплоємність металу при кімнатній температурі.
Таким чином, статистика Фермі-Дірака, застосована Зоммерфельдом до класичної моделі металів, усунула проблему теплоємності електронів провідності, яка була характерна для теорії Друде.
. 3 Статистика Фермі і провідність металів
Окрім малої величини питомої теплоємності електронів, яку вдалося пояснити Зоммерфельду, застосувавши методи квантової механіки, Друде у своїй теорії зіткнувся також з труднощами, пов'язаними з механізмом електричного опору. За допомогою класичної моделі Друде не вдавалося відповісти на питання: чому опір металу увеличи ється пропорційно температурі. Звернемося до аналізу провідності електронного газу за допомогою статистики Фермі-Дірака, який провів Зоммерфельд. Він використовував вирази для густини станів і вираз для функції Фермі. Таким чином, відповідальними за провідність можуть бути тільки електрони з енергією, близькою до рівня Фермі. В іншому Зоммерфельд використовував ті ж припущення, що і Друде.
Застосовуючи статистику Фермі-Дірака ми можемо отримати вираз для електропровідності, тільки виражене через повну густину електронів і характеристики електронів з енергією Фермі.
Це вираз має вигляд
Для розподілу Фермі додаток електричного поля призводить до повного збіднення тонкої зігнутої області в k-просторі і повністю заселяє дзеркально симетричну їй область з протилежного боку від заповненої частини сфери Фермі (малюнок 3.5).
Рісунок3.5 - Розподіл швидкостей в просторі електронного газу для стану рівноваги, і коли до нього докладено електричне поле в x-напрямку.
Всі стану із змінним заповненням відповідають енергіям електрона, близьким до енергії Фермі. Тому електропровідність залежить тільки від і.
Електропровідність можна виразити через середній час вільного пробігу електронів:
Це вираз за формою в точності збігається з виразом, отриманим у моделі Друде. Відмінність полягає лише у визначенні величини. Для виродженого електронного газу має значення середній час вільного пробігу тільки малої частини всіх електронів.
3.4 Середня довжина вільного пробігу та інші властивості металів
Використовуючи? F в якості типової швидкості електрона можна оцінити середню довжину вільного пробігу:
Питомий опір при кімнатній температурі складає від 1 до 100 мкОм * см, а величина зазвичай лежить в межах від 2 до 6, отже, навіть при кімнатній температурі середня довжина вільного пробігу може бути порядку сотні ангстрем.
Оскільки конкретний вид розподілу електронів за швидкостями не грає ніякої ролі при розрахунку статичної та високочастотн ної провідності, коефіцієнта Холла і магнетосопротивления, їх значення залишаються незмінними незалежно від того, використовує ся чи статистика Максвелла - Больцмана або статистика Фермі- Дірака.
Однак ці висновки несправедливі, якщо час релаксації залежить від енер гии. Наприклад, якщо припустити, що електрони зіштовхуються з неподвиж нимі розсіюючими центрами, то тоді природно вважати, що дов...
