що;. Дана властивість не виконується на безлічі оскільки, якщо пряма паралельна прямій, то і пряма паралельна прямій.
Приклад 2.2.2.
Розглянемо безліч з прикладу 2.2.1. На ньому задамо наступне бінарне відношення:.
) Розглянемо властивість рефлексивності. Тоді має виконуватися така умова. На малюнку 10 показана довільна пряма. Якщо розглядати перпендикулярність як наявність прямого кута між прямими, то очевидно, що ставлення таким властивістю не володіє, оскільки, пряма сама з собою не може утворювати прямий кут.
Малюнок 10
2) Перевіримо властивість симетричності. Воно буде виконуватися при наступній умові:;. Якщо ми розглянемо дві перпендикулярні прямі (і), як показано на малюнку 11, то ми побачимо, що на даній безлічі властивість симетричності виконується, оскільки, якщо пряма перпендикулярна прямій, то і зворотне вірно, так як прямі і утворюють один з одним прямий кут.
Малюнок 11
) Розглянемо властивість транзитивності. Дане підмножина транзитивно, якщо; і. Це твердження невірно. Розглянемо малюнок 12. На ньому зображені і. Звідси видно, що прямо не перпендикулярна прямій, значить, властивість транзитивності не виконується.
Малюнок 12
4) Перевіримо антисиметричність. Дане підмножина не володітиме властивістю антисиметричність, якщо і, тобто якщо і. Це твердження невірне, оскільки, якщо пряма буде перпендикулярна прямій, то і зворотне твердження буде вірно. У цьому можна легко переконатися, дивлячись на малюнок 11. Звідси робимо висновок, що дане підмножина не має властивість антисиметричність.
Приклад 2.2.3.
Розглянемо безліч - безліч фігур. Расмотрим підмножина подібних фігур. Дві фігури називаються подібними, якщо фігуру можна відобразити у фігуру. Будемо говорити, що подібно з коефіцієнтом подібності.
Розглянь наступне бінарне відношення: і подібні. Далі слово подобу ми будемо замінювати символом «~».
) Перевіримо властивість рефлексивності.. Неважко зрозуміти, що будь-яка фігура подібна сама собі, тобто коефіцієнт подібності у неї дорівнює 1. Звідси випливає, що підмножина має властивість рефлексивності.
) Розглянемо властивість симетричності. , Тобто якщо. Якщо фігура подібна фігурі з коефіцієнтом, то фігура подібна фігурі з коефіцієнтом (зворотне відображення). Звідси випливає, що дане безліч має властивість симетричності.
) Перевіримо транзитивність. Повинно виконуватися така умова: і, тобто якщо і те. Нехай фігура подібна фігурі з коефіцієнтом, а фігура подібна фігурі з коефіцієнтом. Тоді фігура подібна фігурі з коефіцієнтом. Це означає, що дане відношення транзитивно.
) Перевіряємо антисиметричність. Дана властивість виконується, якщо і, тобто якщо і, то. Як і у властивості симетричності, якщо фігура подібна фігурі з коефіцієнтом, то фігура подібна фігурі з коефіцієнтом. Звідси випливає, що фігури подібні, значить, властивість антисиметричність не виконується.
3. Узагальнююче повторення. Проектна діяльність
математика алгебраїчний геометричний бінарний
Одним із шляхів підвищення мотивації та ефективності навчальної діяльності в школі є включення учнів у дослідницьку та проектну діяльність. Цілі і завдання цих видів діяльності учнів визначаються як їх особистісними мотивами, так і соціальними. Це означає, що така діяльність повинна бути спрямована не тільки на підвищення компетенції в предметної області, не тільки на розвиток їх здібностей, але і на створення проектного продукту. Наведемо приклад проектного завдання для проведення дослідження на уроках узагальнюючого повторення курсу математики в контексті провідного математичного поняття «порядкова структура».
Завдання.
Розгляньте види бінарних відносин:
) Бінарне відношення r називається відношенням еквівалентності, якщо воно має одночасно рефлексивностью, симетричністю і транзитивності (1,2,4 - властивості).
) Бінарне відношення r називається відношенням часткового порядку, якщо воно має одночасно рефлексивностью, антисиметричного і транзитивності (1,3,4 - властивості).
) Бінарне відношення r називається відношенням лінійного порядку, якщо воно має властивість впорядкованості і є відношенням часткового порядку.
Нижче наведена таблиця (таблиця 1) з прикладами бінарних відносин як продукт дослідницької діяльності учнів класів з поглибленим вивченням математики:
Таблиця 1
Опис бінарного отношеніяСвойстваВід цього бінарного отношенія1 рефл.2 сім.3 антісім.4 транз.х r 1 у? х ділить у raquo ;, де х, в? N. + - ++ Ставлення часткового порядка.х r 2 у? х ділить у...
