треба показати, что будь-які две ее реализации ізоморфні между собою.
Для доведення повнотіла системи аксіом Вейля вікорістаємо декартову реалізацію, оскількі в наслідках з аксіом Вейля позначають, что в пространстве можна ввести прямокутній декартову систему координат. [19, c.106].
У сістемі координат координатами точки М простору назвемо координати вектора. При цьом Кожній точці М простору ставитися у відповідність упорядкована трійка чисел, причому ця відповідність буде взаємно однозначною.
Если точки А і В мают відповідно координати и то вектор матіме своими координатами числа.
Тепер можна довести, что будь-яка реалізація аксіоматікі простору ізоморфна декартовій (аріфметічній) реализации системи аксіом Вейля евклідової геометрії (п. 5.3.1).
Справді, нехай М - Деяка довільна реалізація даної аксіоматікі. Введемо в Цій реализации прямокутній декартову систему координат и Кожній точці, шкірному вектору поставімо у відповідність їх координати. ЦІ ж Самі основні об'єкти (вектори и точки) в аріфметічній реализации візначені помощью дійсніх чисел. З правил операцій над векторами и правил визначення координат вектора за координатами его кінцевіх точок віпліває, что основні відношення между точками и векторами в обох реалізаціях мают однаково Зміст, тобто довільна реалізація М аксіоматікі Вейля ізоморфна аріфметічній реализации. Оскількі Поняття ізоморфізму має властівість транзітівності, то звідсі такоже віпліває, что будь-які две інтерпретації аксіом Вейля евклідової геометрії ізоморфні между собою.
Отже, система аксіом Вейля евклідової геометрії є ПОВНЕ [4, c.54].
$ 3. Доведення несуперечлівості геометрії Лобачевського
Моделлю геометрії Лобачевського назівається Поверхня або простір, в якому віконуються аксіомі геометрії Лобачевського.
Так як, всі реализации геометрії Лобачевського ізоморфні, того тверджень доведенням в одній моделі геометрії Лобачевського, буде вірно в будь-Якій іншій моделі. Тім самим для проведення міркувань можна щоразу вібіраті найбільш «Зручна» модель. Например, в Конформності моделях Пуанкаре, кут между Кривого дорівнює евклідовому куту.
У розділі 2 виклади основні факти планіметрії Лобачевського. Хоча значний Кількість ціх Фактів суперечіть нашим звічайна уявленням про Властивості прямих, трікутніків, чотірікутніків, но всі смороду виводами правильно логічнімі міркуваннямі. Несуперечлівість геометрії, системи аксіом, на Якій вона побудовали, містіть гарантію, что при подалі розвитку геометрії на Основі даної аксіоматікі НЕ вінікнуть суперечліві тверджень. [16, c.239].
При створенні новой геометрії Лобачевського користувався відомімі фактами геометрії Евкліда, Які НЕ є наслідкамі п ятого постулату Евкліда, тобто всі тверджень, Які НЕ залежався від змісту п ятого постулату, є спільною Частинами геометрії Евкліда и Лобачевського. Користуючися аксіоматікою Гільберта, якої НЕ Було за життя Лобачевського, можна Сказати, что спільною Частинами обох геометрій є сукупність всех тверджень, Які можна вивести з аксіом Першів чотірьох груп системи аксіом Гільберта. Цю спільну часть назівають абсолютною геометрією.
Для доведення несуперечлівості геометрії Лобачевського, як и других геометрій, треба побудуваті реалізацію системи аксіом, яка складається з аксіом абсолютної геометрії и аксіомі паралельності Лобачевського.
Перша Спроба побудова реализации Фактів площини Лобачевського Належить італійському геометру Є. Бельгіїрамі (1868), Який показавши, что в евклідовому пространстве є такі поверхні сталої від'ємної Кривин - псевдосферу, внутрішня геометрія якіх збігається з геометрією на площіні Лобачевського (локально).
Німецький математик Ф. Клейн удосконалів реалізацію Бельтрамі (1870), и в математиці вона відома під Назв реалізація Бельтрамі - Клейна [10, c.157].
3.1 Реалізація Бельтрамі - Клейна
У евклідовій геометрії Рівняння прямої в декартових прямокутній координатах віражається лінійно відносно змінніх х і у:
або (3)
де - довжина перпендикуляра ЗР з качана координат на Дану пряму,?- Кут между віссю абсцис и перпендикуляром ОР, х, у - координати довільної точки М на прямій (рис. 1.93).
У площіні Лобачевського пряма зображується відносно Декарт-вої прямокутної системи координат трансцендентним рівнянням
(4)
де П (), П (), П () - Функції Лобачевського відрізків х, у.
Рис. 2
Щоб пряма Лобачевського зображувалась відносно х і у такоже лінійнім рівнянням, Бельтрамі ввів Нові і Такі, что
де k - довільна стала.
Координати и назівають бельтрамієвімі координатами.
Тоді в бельтрамієвіх координатах Рівнян...
