Завдання 1.
Для сигналізації про аварію встановлені три незалежно працюючих пристрої. Ймовірності спрацьовування пристроїв при аварії відповідно рівні 0,9, 0,7 і 0,4. Знайти ймовірність того, що при аварії:
А) спрацює хоча б один пристрій;
Б) спрацює не менше двох пристроїв.
РІШЕННЯ:
Події:
А 1 - спрацює пристрій № 1;
А 2 - спрацює пристрій № 2;
А 3 - спрацює пристрій № 3.
Тоді ймовірності р ( А 1 ) = 0, 9; р ( А 2 ) = 0,7; р ( А 3 ) = 0,3 (за умовою задачі).
Ймовірності протилежних подій (пристрій не спрацює):
р () = 1 - 0,9 = 0,1; р () = 1 - 0,7 = 0,3; р () = 1 - 0,3 = 0,7.
А) Подія В«спрацює хоча б один пристрійВ» - це сума подій А1, А2 і А3. Протилежним для нього буде подія про те, що жодне пристрій не спрацював. Тоді по теоремі про ймовірність добутку незалежних подій отримаємо:
р (р () р () р () = 1 - 0,1 * 0,3 * 0,7 = 0,979.
Б) Подія В«спрацює не менше двох пристроївВ» означає, що тільки один пристрій (1-е, 2-е чи 3-є) залишиться які не працюють. У символьній записи ймовірність даної події буде обчислюватися так:
р (А) = р () р () р () + р () р () р () + р () р () р () =
= 0,1 * 0,7 * 0,3 + 0,9 * 0,3 * 0,7 + 0,9 * 0,7 * 0,7 = 0,651.
ВІДПОВІДЬ: А) 0,979; Б) 0,651.
Завдання 2.
Дискретна випадкова величина задана поруч розподілу
X-102P0, 50,3 P 3
Знайти: 1) Р 3 ;
) математичне сподівання М (Х);
) дисперсію D (X);
) функцію розподілу F (x) і побудувати її графік.
РІШЕННЯ:
1) Для закону розподілу дискретної випадкової величини має виконуватися умова. Тоді Р3 = 1 - (0,5 + 0,3) = 0,2. p>) Математичне сподівання М (Х) шукаємо за формулою:
.
) Дисперсию D (X) шукаємо за формулою:
.
4) Функція розподілу F (x) набуде вигляду:
В
Будуємо її графік:
В
Завдання 3.
Дана функція розподілу F (x) неперервної випадкової величини Х:
В
Знайти: 1) коефіцієнт а;
) М (Х);
).
РІШЕННЯ:
Знаходимо функцію щільності розподілу:
В
) Коефіцієнт а знаходимо, використовуючи властивість нормованості функції щільності розподілу ймовірностей:.
Для нашого випадку отримаємо:
Тоді.
і
2) Математичне сподівання М (Х) шукаємо за формулою:
В
3) Для знаходження ймовірності попадання випадкової величини Х в інтервал скористаємося формулою:
.
ВІДПОВІДЬ: 1), 2), 3).
Завдання 4.
У результаті контролю надійшла на склад продукції отримано дані, записані у вигляді статистичного ряду:
інтервальний дисперсія розподілення
Потрібно:
) скласти інтервальний статистичний ряд розподілу значень статистичних даних;
) побудувати полігон і гістограму відносних частот;
) знайти емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік;
4) обчислити числові характеристики вибірки (вибіркову середню, вибіркове середнє квадратичне відхилення).
РІШЕННЯ:
1) Розіб'ємо інтервал вимірювання випадкової величини на m часткових інтервалів рівної довжини і підрахуємо частоту влучення значення випадкової величини в кожен з інтервалів.
Значення m знаходиться за формулою:, де 50 - кількість елементів у вибірці.
- довжина інтервалу.
Початок першого інтервалу приймаємо рівним.
Шкалу і угруповання статистичних даних представимо у вигляді таблиці:
Інтервали [182; 191] (191; 200) (200; 209) (209; 218) (218; 227) (227; 236) Частота541112126Относітельная част...
