схеми
Складаємо послідовно ланки з і з
,
.
Складаючи паралельно дві ланки і, отримуємо
.
При додаванні послідовно останньої функції з отримуємо ланка з передавальної функцією:
,
,
.
Таким чином, структурна схема системи після всіх наведених вище перетворень приймає вигляд, показаний на рис. 17. <В
Малюнок 17. Структурна схема системи після перетворень
Якщо ланка є ланкою зворотного зв'язку по відношенню до, тоді
.
Вираз для передавальної функції еквівалентного спрямованого ланки системи в цілому
.
Знаменник передавальної функції являє собою характеристичний многочлен системи з АРВ пропорційного дії, який після підстановки виразів для,, і записи його по убутним ступенями приймає вигляд
В
Загальна форма запису характеристичного рівняння руху системи-го порядку записується у вигляді
.
Для розрахунку коефіцієнтів рівняння визначаються опору у відповідності зі схемою заміщення системи, представленої на рис. 18:
;
;
;
;
;
.
Тоді напруги джерел ЕРС, наведених у схемі (рис.18), визначаються з очевидних співвідношень:
;
;
;
;
В
В
Малюнок 18. Схема заміщення системи, пояснює принцип визначення приватних похідних
Значення перехідною ЕРС визначиться як проекція ЕРС на поперечну вісь генератора:
;
.
Напруга на виводах генератора визначається аналогічно:
;
.
Величина кута
;
.
ся частками похідними кутових характеристик найпростішої системи. Їх аналітичні вирази:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
В
Оскільки розглянута система - система четвертого порядку, то
;;
;
;
,
Для дотримання розмірностей при розрахунку коефіцієнтів характеристичного рівняння постійні часу і підставляються в секундах, а постійна інерції при підстановці її значення в секундах повинна бути поділена на.
;
;
;
;
.
Коефіцієнти і доцільно представити у вигляді двох доданків
і.
складові і, містять коефіцієнт посилення системи, в великій мірі впливають на величину коефіцієнтів характеристичного рівняння і, тим самим, на стійкість системи.
;
;
;
.
7. Аналіз стійкості системи по алгебраическому критерієм Гурвіца і частотного критерію Михайлова
Після обчислення коефіцієнтів характеристичного рівняння заповнюється квадратна табличка-матриця для визначення стійкості системи по алгебраическому критерієм Гурвіца:
.
Так як розглядається характерістічес кое рівняння має четвертий порядок, то єдиним нетривіальним умовою, визначальним стійкий стан системи, буде позитивність передостаннього визначника:
.
В
З заперечності передостаннього визначника робимо висновок про нестійкість системи. Визначимо нижній і верхній межі, в яких повинна лежати величина коефіцієнта підсилення при забезпеченні стійкості системи.
Нижня межа визначається з умови знаходження коефіцієнта на межі порушення тривіального умови, тобто , Звідки
. (7)
В
Верхня межа коефіцієнта посилення знаходиться з умови:
(8)
.
Для систем більш високого порядку використання алгебраїчного критерію Гурвіца перетворюється на вельми громіздку операцію і ускладнює оцінку параметрів системи на її стійкість. Тому великий інтерес представляє запропонований А.В. Михайловим досить простий, зручний і наочний графоаналітичний критерій стійкості.
У даному випадку розглядається рівняння четвертого порядку
.
Позначивши характеристичний многочлен, що знаходиться в його лівій частині, через, отримаємо
.
Підставимо тепер в цей вираз замість. При цьому в загальному випадку не дорівнює нулю, якщо тільки не є коренем даного рівняння. У цьому випадку
,
де
(9)
В
Величина є комплексним числом, яке може бути зображено на комплексній площині. Якщо тепер почати змінювати параметр відВ до, то кінець вектора опише на комплексній площині деяку криву, яка називається кривою Михайлова, яка є годографом вектора приВ і дає відповідь про стійкість системи.
Формулювання критерію стійкості Михайлова така. p> Якщо результуючий кут повороту вектора при зміні від до дорівнює, то система стійка. Якщо ж цей кут відрізняється від, то система нестійка. При цьому за позитивний кут повороту вважається напрямок проти годинникової стрілки. Для рівняння четвертого ступеня в стійкій системі кінець вектора повинен повернутися навколо початку системи координат на результуючий кут і описати годограф. Таким чином, для знайденого отримуємо г...
