lign="justify"> Крім правильних і напівправильні багатогранників красиві форми мають так звані правильні зірчасті багатогранники. Вони виходять із правильних багатогранників продовженням граней або ребер аналогічно тому, як правильні зірчасті багатокутники виходять продовженням сторін правильних багатокутників. p align="justify"> Перші два правильних зірчастих багатогранника були відкриті І. Кеплером (1571-1630), а два інших майже 200 років по тому побудував французький математик і механік Л. Пуансо (1777-1859). Саме тому правильні зірчасті багатогранники називаються тілами Кеплера-Пуансо. p align="justify"> У роботі "Про багатокутниках і многогранниках" (1810) Пуансо описав чотири правильних зірчастих багатогранника, але питання про існування інших таких багатогранників залишався відкритим. Відповідь на нього була дана рік потому, в 1811 році, французьким математиком О. Коші (1789-1857). У роботі "Дослідження про многогранниках" він довів, що інших правильних зірчастих багатогранників не існує. p align="justify"> Розглянемо питання про те, з яких правильних багатогранників можна отримати правильні зірчасті багатогранники. З тетраедра, куба і октаедра правильні зірчасті багатогранники не вдаються. Візьмемо додекаедр. Продовження його ребер призводить до заміни кожної грані зірчастим правильним п'ятикутником (мал. 30, а), і в результаті виникає багатогранник, який називається малим зірчастим додекаедрів (мал. 30, б). br/>В
При продовженні граней додекаедра виникають дві можливості. По-перше, якщо розглядати правильні п'ятикутник, то вийде так званий великий додекаедр (рис. 31). Якщо ж, по-друге, в якості граней розглядати зірчасті п'ятикутники, то виходить великий зірчастий додекаедр (рис. 32). br/>В
Ікосаедр має одну зірчасті форму. При продовженні граней правильного ікосаедра виходить великий ікосаедр (рис. 33). p align="justify"> Таким чином, існують 4 типи правильних зірчастих багатогранників.
Зірчасті багатогранники дуже декоративні, що дозволяє широко застосовувати їх в ювелірній промисловості при виготовленні всіляких прикрас.
Багато форми зірчастих багатогранників підказує сама природа. Сніжинки - це зірчасті багатогранники (рис 34). З давнини люди намагалися описати всі можливі типи сніжинок, складали спеціальні атласи. Зараз відомо кілька тисяч різних типів сніжинок. <В
Вправи
1. На малюнку 35 зображено багатогранник, званий зірчастим октаедром. Він був відкритий Леонардо да Вінчі, потім через майже сто років перевідкритий І. Кеплером і названий ним "Stella octangula" - зірка восьмикутна. Чи є цей багатогранник правильним зірчастим? p align="justify"> Відповідь: Ні.
. Як можна отримати зірчастий октаедр з куба? p align="justify"> Відповідь: Вершини зірчастого октаедра є вершинами куба.
. Зірчастий октаедр є об'єднанням двох правильних тетраедрів. Подумайте, якою фігурою є перетин зазначених тетраедрів? p align="justify"> Відповідь: октаедра.
. Зірчастий октаедр може бути отриманий додаванням правильних трикутних пірамід до граней октаедра. Якими при цьому повинні бути бічні ребра пірамід, якщо ребра октаедра рівні 1. p align="justify"> Відповідь: 1.
. Скільки вершин, ребер і граней має малий зірчастий додекаедр? p align="justify"> Відповідь: 12 вершин опуклих п'ятигранних кутів; 30 ребер; 12 зірчастих п'ятикутних граней.
. Малий зірчастий додекаедр може бути отриманий додаванням правильних п'ятикутних пірамід до граней додекаедра. Якими при цьому повинні бути бічні ребра пірамід, якщо ребра додекаедра рівні 1? p align="justify"> Відповідь: .
. Великий додекаедр може бути отриманий видаленням з ікосаедра правильних трикутних пірамід, підставами яких є грані ікосаедра, а вершини лежать всередині ікосаедра. Якими при цьому повинні бути бічні ребра пірамід, якщо ребра ікосаедра рівні 1? p align="justify"> Відповідь: .
