ся експоненційної функцією, а її графік е. кспонентой . p> Наслідки.
. ; p>. . br/>
Нескінченно малі і нескінченно великі функції
Визначення. Функція називається нескінченно малою в точці (при), якщо її граничне значення в цій точці (при) дорівнює нулю. p> Зауважимо, що якщо функція має в точці (при) граничне значення, то функція є нескінченно малою в точці (при). Звідси випливає, що якщо функція має в точці (при) граничне значення, то її можна представити у вигляді, де - нескінченно мала функція в точці (при). p> Приклад. Функція є нескінченно малою в точці. Дійсно, розглянемо довільну сходящуюся до послідовність. За визначенням границі функції маємо
.
Визначення (за Гейне). Функція називається нескінченно великою в точці, якщо для будь-якої збіжної до послідовності значень аргументу, відповідна послідовність значень функції є нескінченно великою послідовністю. p> Якщо функція є нескінченно великою в точці, то її межа вважають рівним.
Приклад. Функція є нескінченно великою в точці. Дійсно, розглянемо довільну сходящуюся до послідовність (). Тоді послідовність - нескінченно мала, а послідовність - нескінченно велика. p> Приклад. Функція є нескінченно великою при. Дійсно, візьмемо довільну нескінченно велику послідовність, всі елементи якої позитивні. Послідовність значень функції також нескінченно велика. Отже,. p> Порівняння нескінченно малих і нескінченно великих функцій
Нехай і - дві нескінченно малі в точці функції, визначені на одному і тому ж множині.
. Функція називається нескінченно малою більш високого порядку, ніж, якщо. У цьому випадку використовують символічну запис, яка читається таким чином: одно мале від. p>. Функції і називається нескінченно малими одного порядку, якщо в точці існує кінцевий межа відносини, відмінний від нуля.
. Функції і називається еквівалентними нескінченно малими, якщо. Для позначення еквівалентності використовують символ ~. Запис читається: функція еквівалентна функції. p>. Функція називається нескінченно малою порядку щодо, якщо в точці існує кінцевий межа відносини, відмінний від нуля.
Аналогічним чином порівнюють і нескінченно великі функції. Нехай і - дві нескінченно великі в точці функції одного знака. p>. Функція називається нескінченно великою більш високого порядку, ніж, якщо їх ставлення є нескінченно великою в точці функцією.
. Функції і називається нескінченно великими одного порядку, якщо в точці існує кінцевий межа відносини, відмінний від нуля.
. Функції і називається еквівалентними нескінченно великими, якщо.
. Функція називається нескінченно великою порядку щодо, якщо в точці існує кінцевий межа відносини, відмінний від нуля.
Односторонні межі
Будемо використовувати визначення Гейне границі функції.
Визначення. Число називається правим (лівим) границею функції в точці, якщо для будь-якої збіжної до послідовності значень аргументу функції, всі елементи якої більше (менше), відповідна послідовність значень функції сходиться до. p> Такі межі називаються односторонніми межами.
Правий межа позначають символом, а лівий -. Правий і лівий межа функції в точці можуть приймати як рівні, так і відмінні один про одного значення. p> Приклад. Знайдемо правий і лівий межі функції при. Візьмемо довільну сходящуюся до послідовність, всі елементи якої більше нуля. Тоді й. Нехай всі члени сходящейся до послідовності менше нуля. У цьому випадку
і.
Теорема. Якщо в точці правий і лівий межі функції рівні, то в цій точці існує граничне значення функції, рівне зазначеним одностороннім межею, тобто
==.
(Без доведення).
Зауваження. Якщо в точці правий і лівий межі функції не рівні (), то функція в точці межі не має. p> Отже, функція при межі не має, так як
.
3. Безперервність функції
Безперервність функції в точці
Нехай функція визначена в точці і будь-яка-околиця точки містить відмінні від точки області завдання цієї функції.
Визначення 1. Функція називається безперервної в точці, якщо вона задовольняє наступним трьом умовам:
) визначена в точці (тобто існує);
) має кінцевий межа в точці;
) ця межа дорівнює значенню функції в точці, тобто.
Межа функції в точці часто називають граничним значенням функції в цій точці. І тоді визначення 1 можна сформулювати наступним чином: функція називається безперервної в точці, якщо граничне значення цієї функції в точці існує і дорівнює приватному значенням, тобто, якщо
. (1)
Оскільки, то рівність (1) можна представити у вигляді
. (2)
Отже, дл...
