sub> 1 (s) Г‰R 2 (s) Г‰R 3 (s) Г‰ ..., то , в силу теореми 12, при n В® ВҐ буде
mR n (s) В® mM. (2)
Переконаємося в тому, що
MГЊQ. (3)
Справді, якщо, то, причому всі числа f 1 (x 0 ), f 2 (x 0 ), ... і їх межа f (x 0 ) - кінцеві. Значить знайдеться таке n, що для k Ві n буде | f k (x 0 ) - f (x 0 )
Інакше кажучи (k Ві n), а тому і тим більше, звідки і слід (3).
Але тоді, в силу (1), nM = 0, і (2) приймає вигляд
(4)
Цим і доведено теорему, бо Е n (s) ГЊ R n (s).
Зауваження . Зазначимо, що нами встановлено результат (4), більш місцями, ніж те, що ми хотіли довести. Нижче при доведенні теореми Д.Ф. Єгорова, нам доведеться скористатися саме цим більш сильним результатом. p> Доведена теорема дає привід встановити наступне
Визначення. Нехай на вимірному безлічі Е задана послідовність вимірюваних і майже скрізь кінцевих функцій
f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), ...
і вимірна і майже скрізь кінцева функція f (x). Якщо, яке б не було позитивне число s, виявляється, що
,
то говорять, що послідовність ( * ) сходиться до функції f ( x ) у міру.
Ми будемо, слідуючи Г.М.Фіхтенгольцу, позначати збіжність по мірі символом
f n (x) Гћ f (x).
За допомогою поняття збіжності за мірою можна формулювати теорему Леберга так. p> Теорема 1 *. Якщо послідовність функцій сходиться майже скрізь, то вона сходиться і в міру до тієї ж граничної функції.
Наступний приклад показує, що ця теорема необоротна.
П р и м і р. Визначимо на полусегменте [0, 1) для кожного натурального k групу з k функцій: f 1 ( k ) (x), f 2 ( k ) ( x), ..., f k ( k ) (x), вважаючи
В
Зокрема, f 1 (1) (x) Вє 1 на [0, 1). Нумеруя всі побудовані функції поспіль одним значком, ми отримаємо послідовність
j 1 (x) = f 1 (1) (x), j 2 (x ) = f 1 (2) (x), j 3 (x) = f 2 (2) (x), j 4 (x) = f 1 (3) (x), ...
Легко бачити, що послідовність функцій j n (x) сходиться в міру до нуля. Справді, якщо j n (x) = f i ( k ) (x), то за будь s> 0 буде
В
і міра цієї безлічі, що дорівнює 1/k, прагне до нуля з зростанням n.
Разом з тим, співвідношення j n (...
