x) В® 0 не виконується в жодній точці проміжку [0, 1). Дійсно, якщо так що f i ( k ) (x 0 ) = 1. Інакше кажучи, як далеко ми не просунемося уздовж ряду чисел j 1 (x 0 ), j 2 (x 0 ), j < sub> 3 (x 0 ), ..., ми завжди будемо зустрічати в цьому ряду числа, рівні 1, що й доводить наше твердження.
Таким чином, поняття збіжності за мірою є поняття, істотно більш загальне, ніж поняття збіжності майже скрізь і тим більше, ніж поняття збіжності скрізь.
Природно запитати, якою мірою співвідношення
f n (x) Гћ f (x)
визначає функцію f (x), тобто єдина Чи гранична функція при збіжності по мірі.
Теореми 2 і 3 дозволяють дай відповідь на це питання.
Теорема 2. Якщо послідовність функцій f n ( x ) сходиться в міру до функції f ( x ), то ця ж послідовність сходиться в міру до всякої функції g ( x ), еквівалентної функції f ( x ).
Д про до а із а т е л ь с т в о. При будь-якому s> 0 буде
E (ГЄf n - g ГЄ Ві s) ГЊ E (f В№ g) + E (Г§f n - f Г§ ; Ві s),
звідки (оскільки mE (f В№ g) = 0)
mE (ГЄf n - g ГЄ Ві s) ВЈ mE (Г§f n - f Г§ Ві s),
що і доводить теорему.
Теорема 3 . Якщо послідовність функцій f n ( x ) сходиться в міру до двох функціям f ( x ) і g ( x ), то ці граничні функції еквівалентні.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Легко перевірити, що при s> 0 буде
(*)
бо точка, яка не входить в праву частину цього співвідношення, і поготів не може входити і в ліву частину. Але співвідношення
f n Гћ f, f n Гћ g
показують, що міра правій частині (*) прагне до нулю із зростанням n, звідки ясно, що mE (ГЄf n - g ГЄ Ві s) = 0.
Але так як
В
то f ~ g, що й потрібно було довести.
Теореми 2 і 3 показують, що, бажаючи відновити властивість єдиною граничної функції для збіжності за міру, ми повинні були б домовитися вважати еквівалентні функції за тотожні. Це зазвичай і робиться в метричних питаннях теорії функцій, тобто в тих питаннях, де всі властивості функцій вивчаються за допомогою заходів множин, на яких функція має або не володіє тим чи іншим властивістю. В інтегральному обчисленні ми Надєм багато прикладів подібного підходу до речей. p> Хоча збіжність по мірі загальне збіжності майже скрізь, має місце все ж наступна теорема. p> Теорема 4 (Ф.Рісс). Нехай { fn ( x )} послідовні...
