буде доведена.
Нехай х 0 . Тоді х 0 В при деяких фіксованих n і m. Це значить, що х 0 А для k n. Інакше кажучи для kn буде f k (x 0 )> A +1/m. p> Спрямовуючи k до нескінченності і переходячи в останньому нерівності до межі, отримаємо, що F (x 0 )> a, тобто x 0 ГЋE (F> a). Цим і доведено включення (*). Доведена теорема допускає наступне узагальнення.
Теорема 3. Нехай на множині E задані вимірні функції f 1 ( x ), f 2 ( x ), ... і деяка функція F ( x ). Якщо співвідношення
( a)
виконується майже скрізь на Е, то F ( x ) вимірна.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Позначимо через А безліч всіх точок X ГЋ Е, в яких співвідношення (a) не має місця (у цих точках межі може зовсім не існувати). За умовою, mA = 0 і F (x) вимірна на безлічі А. По теоремі 2 вона вимірна і на безлічі Е - А, а тоді вона вимірна і на всьому безлічі Є.
Послідовності вимірних функцій. Збіжність по мірі. br/>
У цьому місці нам доведеться розглядати безлічі виду Е (| f - g | Ві s), Е (| f - g |
Е = Е (| f - g | Ві s) + Е (| f - g |
і доданки правої частини не перетинаються.
Теорема 1 (А. Лебег). Нехай на вимірному безлічі Е задана послідовність вимірюваних і майже скрізь кінцевих функцій f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ), ..., яка майже у всіх точках Е сходиться до майже скрізь кінцевої функції f ( x ). Тоді, яке б не було s> 0, буде
В
Д про до а із а т е л ь с т в о. Зазначимо насамперед, що в силу теореми 3, гранична функція f (x) також вимірна і, стало бути, вимірні ті множини, про які йде мова.
Покладемо
А = Е (| f | = + ВҐ), A n = E (| f n | = + ВҐ), B = E (f n НЕ В® f)
.
Очевидно,
MQ = 0 (1)
Нехай, далі,
,,.
Всі ці безлічі вимірні.
Так як R <...
