ку картонну коробку, поставити її на вертикально стоять картонні криві, прибиті до планки, і покатати вперед і назад, то ви побачите вражаючу картину: обидва кінця планки роблять вертикальні переміщення, а коробка їде на картонних В«колесахВ» так, як якщо б вони були круглими!
Властивості кривих постійної ширини.
Одне з дивних і важко доказуваних
В
Рис. 8. Два тіла постійної ширини. /Td>
властивостей складається, в тому, що всі криві однієї і тієї ж постійної ширини n мають однакові периметри. Оскільки окружність належить до числа кривих постійної ширини, периметр будь кривої постійної ширини n дорівнює довжині окружності діаметра n, тобто величиною n. p> Тривимірні аналоги кривих постійної ширини називаються тілами постійної ширини. Сфера - не єдине тіло, яке може обертатися всередині куба, весь час, торкаючись всіх шести його граней. Цим же властивістю володіють всі тіла постійної ширини. Найпростішим прикладом несферіческую тіла постійної ширини може служити тіло, утворюється при обертанні трикутника Рело навколо однієї з його осей симетрії (Див. ліве тіло на рис. 8). Існує нескінченно багато і інших тіл постійної ширини. Ті з них, які мають найменший обсяг при даній ширині, виходять з правильного тетраедра, так само як трикутник Рело - з рівностороннього трикутника: спочатку на кожну грань тетраедра поміщають сферичні шапочки, а потім злегка скругляют ребра. Ребра або виходять з однієї вершини, або утворюють трикутник. Прикладом такого викривленого тетраедра постійної ширини може служити тіло, зображене на (рис. 8) праворуч. Оскільки всі криві однаковою постійної ширини мають один і той же периметр, може здатися, ніби і всі тіла однакової постійної ширини мають одну і ту ж площу поверхні. Однак таке твердження не вірно. Як показав відомий математик Герман Мінковський, всі тіні, що відкидаються тілами постійної ширини (Передбачається, що промені сонця паралельні, а тінь падає на площину, перпендикулярну променів), мають форму кривих постійної ширини. Периметри всіх тіней, що відкидаються тілами однієї і тієї ж постійної ширини, однакові (і дорівнюють d, де d - ширина тіла). Опукла фігура, яка може обертатися всередині багатокутника або багатогранника, торкаючись весь час всіх його сторін, називається ротором. Ми бачили, що трикутник Рело є ротором мінімальної площі для квадрата. Ротор мінімальної площі для рівностороннього трикутника зображений на (мал. 9) ліворуч. Це - фігура у формі лінзи (зрозуміло, її контур не є кривої постійної ширини), утворена дугами двох кіл, радіус яких дорівнює висоті трикутника (кожна дуга становить 60 В°). Важливо зауважити, що кінці ротора при обертанні описують весь периметр трикутника, що не закругляя кутів. До жаль, технологи-
В
Рис. 9. Ротор найменшою площі всередині рівностороннього трикутника. Праворуч показаний відрізок прямої, що обертається усередині гіпоциклоїди.
