pan> - 1.
Взаємно знищимо в (3 ') доданки аn - 1 і an - 1 і поділимо обидві частини на x , в результаті отримаємо
.
Аналогічно продовжуючи міркування, одержимо, що аn - 2 = bn -2, ..., а 0 = b 0.
Таким чином, доведено, що з тотожної рівності 2-x многочленів слід збіг їх коефіцієнтів при однакових ступенях x .
Протилежне твердження справедливо очевидно, тобто якщо два многочлена мають однаковими всі коефіцієнти, то вони є однакові функції, отже, їх значення збігаються при всіх значеннях аргументу, що й означає їх тотожна рівність. Властивість 1 доведено повністю. v
Приклад
прі.
Властивість 2 (про поділ многочлена на різницю (x - х0))
Теорема Безу
При розподілі многочлена Pn ( x ) на різницю ( x - х 0) виходить залишок, рівний Pn ( x 0), тобто
Теорема Безу, (4)
де Qn - 1 ( x ) - ціла частина від ділення, є многочленом ступеня ( n - 1).
Доказ
w Запишемо формулу розподілу із залишком:
( x ) = ( x - х 0)? Qn - 1 ( x ) + A ,
де Qn - 1 ( x ) - многочлен ступеня ( n - 1),
A - залишок, який є числом внаслідок відомого алгоритму розподілу багаточлена на двочлен В«в стовпчикВ».
Це рівність вірно при " x , в тому числі при x = х 0 Гћ
Pn ( x 0) = ( x 0 - x 0) Г— Qn - 1 (< i align = "justify"> x 0) + A Гћ
A = Pn ( х 0), ч.т.д. v
Слідство з теореми Безу. Про поділ многочлена на двочлен без залишку
Якщо число х 0 є нулем многочлена, то цей многочлен ділиться на різницю ( x - х 0) без залишку, то є
Гћ. (5)
Приклади
1), так як P 3 (1) Вє 0
Гћ.
), так як P 4 (-2) Вє 0
Гћ.
), так як P 2 (-1/2) Вє 0
Гћ.
Ділення многочленів на двочлен В«в стовпчикВ»:
_ _ ...
