> Показова форма комплексного числа
Показовою формою комплексного числа називається форма
Показова форма комплексного числа, (11)
де.
Приклади
1);
);
).
Дії над комплексними числами в показовій формі виконуються за правилами дій зі ступенями:
, (12)
, (13)
, (14)
,. (15)
Приклади
Нехай,
.
Тоді;
;
;
,
В В
Числа є вершинами правильного п'ятикутника, вписаного в коло радіуса.
Формули Ейлера
Використовуємо визначення Гћ,
так як,.
З цих рівностей слідують формули Ейлера
Формули Ейлера (16)
за якими тригонометричні функції та дійсної змінної виражаються через показову функцію (експоненту) з чисто уявним показником.
В§ 2. Цілі функції (многочлени) та їх основні властивості. Рішення алгебраїчних рівнянь на множині комплексних чисел
Цілою функцією або алгебраїчним многочленом ( поліномом ) аргументу x називається функція виду
. (1)
Тут n - ступінь многочлена ( натуральне число або 0),
x - змінна (дійсна або комплексна),
a 0, a 1, ..., an - коефіцієнти многочлена (дійсні або комплексні числа), причому, a 0 В№ 0
Приклади
;
;
, - квадратний тричлен;
,;
.
Визначення алгебраїчного рівняння -го ступеня
Рівняння називається алгебраїчним рівнянням n-го ступеня щодо невідомої x , якщо його ліва частина є многочленом ступеня n щодо змінної x :
Pn ( x ) = 0, (2)
Число х 0 таке, що Pn ( x 0) Вє 0, називається нулем функції Pn ( x ) або коренем рівняння .
Приклади
1) - алгебраїчне рівняння першого ступеня,
його корінь;
) - рівняння алгебри сьомого ступеня,
його коріння,,.
) числа і є нулями функції, так як і.
Зауваження
У літературі часто нулі функції називаються її корінням. Наприклад, числа і називаються корінням квадратичної функції. br/>
Основні властивості многочленів (Перерахуйте основні властивості многочленів)
Властивість 1 (про тотожній рівності многочленів)
Два багаточлена одного ступеня n тотожно рівні один одному тоді і тільки тоді, коли співпадають їх коефіцієнти при однакових ступенях змінної x , тобто
(3)
.
Доказ
w Тотожність (3) справедливо при " x ГЋ (або" x ГЋ)
Гћ воно справедливо при; підставляючи, отримаємо аn = bn .
Взаємно знищимо в (3) доданки аn і bn і поділимо обидві частини на x :
. (3)
Це тотожність теж вірно при " x , в тому числі при x = 0
Гћ вважаючи x = 0, отримаємо аn - 1 = bn
