_ _ _
Властивість 3 (про існування нуля многочлена)
Теорема алгебри основна
Всякий многочлен ступеня n Ві 1 має, принаймні, один нуль, дійсний або комплексний
Доказ цієї теореми виходить за рамки нашого курсу. Тому приймемо теорему без доведення. p align="justify"> Попрацюємо з цієї теоремі і по теоремі Безу з многочленом Pn ( x ).
В
Після n -кратного застосування цих теорем отримаємо, що
,
де a 0 - це коефіцієнт при xn в Pn ( x ).
Слідство з основної теореми алге бри. Про розкладання многочлена на лінійні множники
Будь багаточлен ступеня на безлічі комплексних чисел розкладається на n лінійних співмножників, тобто
Розкладання многочлена на лінійні множники, (6)
де х 1, х < span align = "justify"> 2, ... хn - це нулі многочлена.
При цьому якщо k чисел з набору х 1, х 2, ... хn збігаються між собою і з числом a , то у творі (6) виходить множник ( x - a < span align = "justify">) k . Тоді число x = a називається k-кратним нулем многочлена Pn ( x ) . Якщо k = 1, то нуль називається простим нулем многочлена Pn ( < b align = "justify"> x ) .
Приклади
) P 4 ( x < span align = "justify">) = ( x - 2) ( x - 4) 3 Гћ x 1 = 2 - простий нуль, x 2 = 4 - триразовий нуль;
) P 4 ( x < span align = "justify">) = ( x - i ) 4 Гћ x = i - нуль кратності 4.
Властивість 4 (про кількість коренів алгебраїчного рівняння)
Будь-яке алгебраїчне рівняння Pn (x) = 0 ступеня n має на безлічі комплексних чисел рівно n коренів, якщо рахувати кожен корінь стільки разів, яка його кратність.
Приклади
1) x 2 - 4 x + 5 = 0 - рівняння алгебри другого ступеня
Гћ x 1,2 = 2 В± = 2 В± i - два кореня;
2) x 3 + 1 = 0 - рівняння алгебри третього ступеня
Гћ x 1,2,3 = - три кореня;
3) P
