ція абсолютно інтегровна на проміжку при, тобто при,. Значить, інтеграл абсолютно сходиться при, причому рівномірно в будь кінцевої області, що лежить в комплексній площині праворуч від прямої. Тим самим він визначає аналітичну функцію змінної s , регулярну при. Тому права частина рівності (3) являє собою аналітичне продовження дзета-функції на напівплощина і має там лише один простий полюс у точці з вирахуванням, рівним одиниці.
Для можна перетворити вираз (3) дзета-функції. При маємо, значить, і. Тепер при (3) може бути записано у вигляді. p> Трохи більш складними міркуваннями можна встановити, що в дійсності (3) дає аналітичне продовження дзета-функції на напівплощина. Покладемо, а, тобто первісна для. обмежена, оскільки, а інтеграл і обмежений через те, що. Розглянемо інтеграл при x 1 > x 2 і. Проинтегрируем його по частинам, прийнявши,, тоді, а за вказаною вище твердженням. Отримуємо. Візьмемо, а. Маємо,, тому що є обмеженою функцією. Значить,
(4). p> Користуючись абсолютною збіжністю інтеграла, якщо, і обмеженістю функції, робимо висновок, що в лівій частині рівності (4) інтеграл теж сходиться при. Значить формулою (3) можна продовжити дзета-функцію і на напівплощина правіше прямій.
Неважко встановити, що для негативних, тому з (3) маємо
(5) при. p> З теорії рядів Фур'є відомо, що для нецілих значень x справедливо розкладання в ряд
(6). br/>
Підставами його в рівність (5) і інтегруємо ряд почленно:
. Зробимо в отриманому інтегралі підстановку, звідси слід, а, і отримаємо далі. Відомо, що, значить. З відомого співвідношення для гамма-функції, за формулою доповнення, отже
Отже, ми отримали функціональне рівняння дзета-функції Рімана
(7),
яке саме по собі може служити засобом вивчення цієї функції, так як цілком характеризує її, в тому сенсі, що будь-яка інша функція, що задовольняє рівності (7), а також ще деяким природним умовам, тотожна з. p> Поки, правда, як випливає з міркувань, ми довели формулу (7) для. Однак права частина цієї рівності є аналітичною функцією s і при. Це показує, що дзета-функція може бути аналітично продовжена на всю комплексну площину, причому не має на ній ніяких особливостей, крім згадуваного полюса при.
Щоб доказ був строгим, ми повинні ще обгрунтувати почленное інтегрування. Оскільки ряд (6) сходиться майже усюди і його часткові суми залишаються обмеженими, почленное інтегрування на будь-якому кінцевому відрізку припустимо. Зважаючи для будь-якого, залишається довести, що при. Але інтегруючи внутрішній інтеграл частинам маємо
. Звідси без праці виходить наше твердження.
Функціональне рівняння дзета-функції (7) може бути записано багатьма способами. Наприклад, замінимо s на 1 - s , отримуємо рівносильну рівність
(8). З нього можна отримати два невеликих слідства. p>...
