розглянемо два можливих випадки:
1)) точки С і D знаходяться в одній півплощині від прямої АВ;
2) точки С і D знаходяться в різних півплощин від прямої АВ. p> У першому випадку орієнтовані кути ВСА і BDA дорівнюють, у другому випадку ВСА + А d = В±, тобто ВСА-ВСА = В±. В обох випадках різниця дорівнює нулю або В±. Але оскільки згідно (24) ця різниця дорівнює
то - дійсне число. p> Зворотно: якщо подвійне ставлення чотирьох точок дійсно, то ці точки або колінеарні, або належать одній окружності. Справді, тоді якщо дійсне число, то і дійсне число. Тому точки А, В, С колінеарні і точки А, В, D колінеарні, і, значить, всі чотири точки колінеарні. Якщо ж число комплексне, то і число також комплексне, відмінне від дійсного. Тому точки A, B, С неколінеарна і точки А, В, D також неколінеарна. Оскільки за умовою подвійне ставлення речовинно, то
Отже, або BCA = BDA, або ВСА-ВDА = В±, тобто ВСА + ADB = В±. У першому випадку відрізок АВ з точок С і D видно під рівними кутами, і, стало бути, вони належать одній дузі кола, стягує хордою АВ. У другому випадку сума протилежних кутів чотирикутника ACBD дорівнює В±, і тому він буде вписаним в коло. Доказ закінчено. p> Задача 1. У окружності проведено три паралельні хорди Довести, що для довільної точки М окружності прямі утворюють рівні кути відповідно з прямими НД, СА, АВ. p> Рішення. Беручи окружність за одиничну, віднесемо точкам А, В, С, A1, B1, C1 комплексні числа Тоді за умовою (9) паралельності хорд маємо Слід довести, що ( рис.8).
Перше рівність еквівалентно такому:
Або
т. е. ця дріб повинна бути числом дійсним. А це має місце, оскільки поєднане їй число
одно цієї ж дробу. Аналогічно доводиться і друга рівність кутів. p> Завдання 2. На площині дано чотири кола так, що кола і перетинаються в точках і; окружності і перетинаються в точках і, окружності і - в точках і та кола і - в точках і. Довести, що якщо точки лежать на одній окружності або прямий, то і точки також лежать на одній
кола або прямої (мал. 9). p> < b> Рішення. Згідно з теоремою цього параграфа і умовою задачі будуть действітельримі подвійні відносини:
Тому буде дійсним і число
Отже, з матеріальність подвійного відносини випливає речовинність та подвійного відносини.
Подібні і рівні трикутники. Правильний трикутник
ОПР: Трикутники АВС і подібні і однаково орієнтовані (подоба першого роду), якщо тільки і
(кути орієнтовані). <
Ці рівності за допомогою комплексних чисел можна записати так:
Два рівності і еквівалентні одному або
(35)
де комплексне число, коефіцієнт подібності.
Якщо, зокрема, - число дійсне, то й на підставі ознаки (8) буде. З такої ж причини і. Отже, трикутники і гомотетічни. p> Співвідношення (35) - необхідний н достатній ознака того, що трикутник...
