ихованих трикутниках, є переважніше результату x.
x3 = - 1 x2 = - 1
x = (x1, x2, x3)
x3 = 1 - C3
x1 = 0
x1 = 1 - C1 x2 = 1 - C2
Рис.3 Рис. 4
Таким чином, якщо x і y - два результати і жоден з них не переважніше іншого, то відповідні точки лежать на прямій, паралельної одній з координатних осей.
Приклад. Нехай є (0, 1)-зредукована гра трьох гравців з ненульовою сумою. p> Розглянемо спочатку умови домінування поділу x = (x1, x2, x3) над Дележа y = (y1, y2, y3) по коаліції {1, 2}. У цьому випадку маємо : p>
Оскільки може бути, що C3 <1, то перше з умов (7) не можна відкинути, як це робить-ся в іграх з постійною сумою. Це означає що, x повинна бути не нижче прямої
x1 + x2 = C3.
Або, враховуючи (6), останнє рівняння приймає вигляд
x3 = 1 + C3.
Таким чином, якщо поділ x такий, що
x1 Ві 1 - C1, x2 Ві 1 - C2, x3 Ві 1 - C3,
то мається три паралелограма, заштрихованих на рис. 4, перебуваючи в яких, точки x домінують y. p> Якщо в (8) одна з нерівностей, наприклад, Третій не має місця, то є тільки 2 парал-лелограмма, заштрихованих на рис. 5, перебуваючи в деяких точках x домінує y. p> x1 = 1 - C1 x2 = 1 - C2 x2 = 1 - C2 x1 = 1 - C1
x3 = 1 - C3
x
Рис. 5 Рис. 6
З розглянутого прикладу видно, що можливо багато варіантів, які виникають при вивченні питань, пов'язаних з домінуванням поділів в кооперативних іграх. З ростом числа гравців надзвичайно швидко зростає кількість таких варіантів. У зв'язку з цим виникає необхідність виділення цілком стійких поділів, тобто таких поділів, які не домінують ніякими іншими Дележа. Безліч цілком стійких поділів в кооперативній грі називається з-ядром цієї гри.
Теорема. Для того щоб дележ x належав з-ядру кооперативної гри з характеристичної функцією u, необхідно і достатньо, щоб для будь коаліції K виконувалася нерівність
Оскільки нерівності (9) лінійні щодо x, то з останньої теореми випливає, що з-ядро в будь кооперативної грі є опуклим багатогранником.
До особливостей кооперативних ігор щодо існування з-ядра відносяться:
1) у несуттєвою грі з-ядро існує і складається з єдиного поділу цієї гри;
2) у всякій істотною грі з постійної сумою з-ядро порожньо.
Для загальної гри трьох гравців у (0; 1)-скороченої формі маємо наступне (рис. 7). p> Її характеристична функція має вигляд:
u (Г†) = u (1) = u (2) = u (3) = 0;
u (1, 2, 3) = 1,
u (1, 2) = С3; u (1, 3) = С2; u (2, 3) = С1,
де 0 ВЈ С1, С2, С3 ВЈ 1. p> На підставі останньої теореми для приналежності поділу x з-ядру необхідно і достатньо виконання нерівностей
x1 + x2 Ві C3, x1 + x3 Ві C2, x2 + x3 Ві C1
або, використовуючи рівність x1 + x2 + x3 = 1, отримаємо
x3 ВЈ 1 - C3, x2 ВЈ 1 - C2, x3 ВЈ 1 - C1. <В
3
1 лютому
Рис. 7
Це оз...
