е не слід виконання властивості для будь-якої іншої послідовності. Наприклад, чому 1333 + ... + 1351 ділиться на 20? Від учня потрібні пояснення, які б доводили властивість для всіх послідовностей, а не перевірка властивості на конкретному прикладі. Тому й оцінка рішення повинна вестися насамперед на основі того, перевіряє учень властивість для окремих випадків або він проводить свої міркування для всього класу аналізованих об'єктів. У нашому випадку видно, що учень просто підрахував суму, ніякої передумови для узагальнення він не виділяє.
Розглянемо приклад, коли суворого докази немає, але все-таки його можна вважати правильним.
Завдання О4: Кількість при діленні на 5 дає залишок 2. Якою може бути залишок при діленні на 10? p> Рішення: 2 = 5 Г— 0 + 2 = 10 Г— 0 + 2 , 7 = 5 Г— 1 + 2 = 10 Г— 0 + 7 , 12 = 5 Г— 2 + + 2 = 10 Г— 1 + 2 і так далі, при збільшенні числа на 5 ніяких інших залишків, крім 2 і 7 не буде.
У цьому випадку більш строгих пояснень не потрібно, оскільки дії з рештою об'єктами досить ясні.
На відміну від узагальнення, при конкретизації відбувається перехід від загального до приватного: від поняття до об'єкту, який цим поняттям характеризується; від теореми до застосування цієї теореми. У зв'язку з цим виникають помилки такого вигляду: 1) неточне розуміння визначення, 2) неправильне застосування теореми, властивості.
У розуміння структури визначення входить:
1) розуміння сенсу визначення (розкриття змісту поняття).
1) 2) розуміння будови визначення (родовий і видовий ознаки). p> 1) 3) знання умов, яким має задовольняти правильне визначення (Вказуються тільки основні ознаки, не повинно бути "порочного кола"). p> Учні можуть розуміти визначення більш вузько (безліч об'єктів, відповідних під визначення, менше дійсного) або більш широко (безліч об'єктів, відповідних під визначення, ширше дійсного).
Приклади:
В· за визначенням подільності 5 ділиться на 2, так як існує число 2,5 таке, що 5 = 2 Г— 2,5. Безліч об'єктів ширше дійсного, так як обидва множники повинні бути цілими числами.
В· багато школярів чотирикутник розуміють як опуклий, поняття про існування неопуклого чотирикутника немає, так як в шкільній практиці учні працюють майже виключно з опуклими фігурами. Безліч об'єктів, що задовольняють визначенням, вужче дійсного.
Учні в міркуваннях іноді використовують пропозиції, які до даного об'єкту застосовувати не можна. Наприклад:
Завдання ПРО5: Підстава призми має площа S . Її бічне ребро довжиною k нахилене до основи під кутом a. Знайдіть об'єм призми. p> Рішення: Обсяг призми дорівнює добутку площі підстави на довжину бічного ребра, тому V = S Г— k .
Аналіз помилки: У даному випадку учень скористався формулою обчислення об'єму для прямої призми. Для похилій призми ця формула не вірна, отже, застосовувати її не можна. Єдиний спосіб викоренити помилку - показати учневі наочно, що його міркування суперечливі. Для цього візьмемо пряму призму. Розділимо її на дві рівні частини так, як показано на малюнку. Складемо з цих частин похилу призму. Зрозуміло, що їх обсяги повинні бути рівні. Якщо ж діяти подібно учневі при обчисленні обсягів, то обсяг похилій призми буде більше, ніж обсяг прямої призми.
В§ 2. Помилки школярів ВЗМШ та їх аналіз. br/>
Ця частина заснована на конкретних роботах учнів ВЗМШ. Тут ми виділили типові помилки, які допускаються школярами при виконанні завдань за посібниками [8] - [10], що входять в програму 8 класу Кіровського відділення ВЗМШ. Аналіз причини і відповідні коментарі з її виправленню, наведені нижче по кожній із завдань, можуть бути використані перевіряючими при рецензуванні робіт учнів. Крім того, аналіз причин заснований на класифікації помилок, яка нами вже розглянута в В§ 1. На її основі ми і будемо складати відповідні коментарі по задачах. Номери всіх завдань збігаються з їх номерами в посібниках [8] - [10], які прикладені до справжній роботі.
Комбінаторика. Завдання № 1, № 2. p> Завдання 1-7. A Г€ B містить 25 елементів, A Г‡ B - 10 елементів, B містить 15 елементів. Знайти кількість елементів в A.
Міркування учня: Так як мн ожество B містить 15 елементів, то безліч A буде містити 25 - 15 = 10 елементів. p> Аналіз помилки: Слід зауважити, що, виконуючи завдання "Комбінаторика", більшість учнів вперше знайомляться ...
