з теорією множин. У зв'язку з цим вони намагаються знайти властивості, схожі з властивостями вже знайомих їм об'єктів. Так операцію об'єднання двох множин школярі часто пов'язують з операцією складання двох чисел. Це цілком логічно, адже у свою чергу числа ще в молодшому віці вони вивчали за допомогою підручних предметів, наприклад, тих же рахункових паличок, тобто, фактично, за допомогою операцій над множинами. При вирішенні завдання учень діяв з множинами, як з числами. Це було б вірно, якби перетин множин було порожнім, як при роботі зі рахунковими паличками. Але якщо це не так, то число елементів в об'єднанні і сума кількостей елементів у кожному з множин - це різні величини. Але учень діяв за вже сформованому стереотипу, тому у відповіді він отримав не кількість елементів множини A , а кількість елементів, належать тільки A . Виходячи з класифікації, даної в В§ 1, цю помилку слід віднести до класу
необгрунтованих аналогій . Причина помилки полягає в тому, що дитина при вирішенні завдання неусвідомлено працює з будь-якими двома множинами як з непересічними. Перевіряючому слід допомогти учневі розібратися в поняттях перетину та об'єднання, зробивши наголос на тому, що відрізняє об'єднання множин від додавання чисел. Це можна зробити, розібравши конкретну задачу. Доцільно використовувати круги Ейлера, так як графічні ілюстрації допомагають учневі краще сприймати інформацію. Розглянемо конкретний приклад.
Задача . Безліч A містить 7 елементів, безліч B - 10, об'єднання множин A і B - 15.Сколько елементів містить перетин множин A і B ( c )?
Об'єднання множин A і B можна розділити на три підмножини: 1) елементи, що належать тільки безлічі A , 2) елементи, що належать перетинанню множин A і B , 3) елементи, що належать тільки безлічі B . Склавши кількість елементів трьох груп, ми отримаємо кількість елементів в об'єднанні множин A і B . Це видно і на колах Ейлера. Позначимо за x - кількість елементів перетину. Тоді в першій групі 7 - x елементів, у другій x , в третій 10 - x . У об'єднанні (7 - x ) + x + (10 - x ) = 17 - x = 15 Гћ x = 2. Можна запропонувати учневі вирішити дану задачу в загальному вигляді, замінивши числа 7, 10 і 15 на a , b і с. Тим самим він отримає вираз з = a + b - х , характеризує кількісне відношення двох множин.
Завдання 1-14. Записати формулами безлічі, заштриховані на діаграмах (наведено кілька діаграм, з яких ми розглянемо одну).
Міркування учня: Цікавить нас безліч можна записати як A Г‡ C + < i> B Г‡ C .
Аналіз помилки: Учень ототожнює додавання з об'єднанням. Треба переконати його, що між цими двома операціями є різниця. p> Не так важливо, як називає учень об'єднання ("об'єднання першого і другого множин" або "додамо до першого другий безліч ", якось інакше), важливо те, що він має на увазі під ним, чи розуміє він суть операції об'єднання. Тому не можна вважати, що учень діяв при вирішенні даної задачі неправильно. Треба вказати, що при оперуванні з числами вживається знак "+", а з множинами - "Г€". Поділ цих операцій виключає з міркувань непотрібну плутанину.
Міркування учня: Цікавить нас безліч можна записати формулою A Г‡ C + B Г‡ C - A Г‡ B Г‡ C .
Аналіз помилки: учень множинами оперує, як числами. Він вирішує зовсім іншу задачу: скільки елементів містить заштрихованими безліч. Завдання перевіряючого - роз'яснити різницю між безліччю і кількістю елементів у цій множині. Помилка безпосередньо пов'язана з формальним знанням визначень операцій над множинами. За класифікації вона відноситься до розділу неправильне розуміння визначення (Невірна конкретизація). Тому в даній ситуації перевіряючому рекомендується дати крім наведених у методичному посібнику визначень на діаграмах, словесні визначення:
AГ€B - безліч всіх елементів, які належать або A або B.
AГ‡B - Безліч всіх елементів, які належать і A і B одночасно.
A B - безліч всіх елементів, що належать A , але не належать множині B .
- безліч всіх елементів, які не належать A .
Рекомендується також сказати, що при об'єднанні однакові об'єкти зливаються в один. Саме з таких об'єктів, які містяться в обох множинах, і складається перетин. Нехай учень порівняє визначення з їх графічними і...
