ірок схема вирішення завдань залишається колишньою, навіть якщо замість 'неизв стного генерального середнього квадратичного відхилення а використовується його вибіркова оцінка s .
3.5.2. Мала вибірка
Якщо генеральна сукупність підпорядкована нормальному закону розподілу (що на практиці має місце дуже часто), то вибіркова середня як середня арифметична п нормально розподілених випадкових величин також має нормальний закон розподілу. Таким чином, величина розподілена за стандартного нормального законом, і схема вирішення завдань при відомому генеральному середньому квадратичному відхиленні Пѓ залишається колишньою. p> Якщо ж генеральне середньоквадратичне відхилення Пѓ невідомо і доводиться користуватися його вибіркової оцінкою s , то використовується статистика t (1.9.26), яка, як ми вже відзначали, підпорядкована закону розподілу Стьюдента з v = n -1 ступенями свободи. При v <30 є значні відмінності між розподілом Стьюдента і нормальним розподілом (тим більше значні, чим менше v ). Використовуючи функцію розподілу Стьюдента, ми можемо записати рівність, аналогічне формулою Лапласа:
(1.9.27)
де S ( t , v ) - функція Стьюдента, значення якої для різних значень t і v детально розраховані і представлені в спеціальних таблицях.
Вираз ( 1.9.27 ) еквівалентно висловом:
(1.9.28)
де
Рішення задач за допомогою цієї рівності аналогічно рішенню завдань з використанням формули Лапласа. Лише визначення п дещо ускладнюється через те, що воно входить також до параметр v = n -1. p> Тому можна скористатися схемою послідовних наближень. Спочатку проводять оцінку ( S 2 ) генеральної дисперсії. Потім знаходять п 1 за схемою (1.9.25), використовуючи таблицю функції Лапласа і беручи Пѓ 2 = s 2 - По знайденому n 1 і, відповідно, v 1 = n 1 - 1 і заданому значенню
Р = 1 - О± визначають t 1 (за таблицею розподілу Стьюдента) і обчислюють і так далі. p> Тепер можна знову повторити розрахунок за v 2 = n 2 - 1 і т.д. p> Ітерація закінчується, якщо виявиться n i ≈ n i -1 .
Приклад 1.9.7. Для визначення середнього заробітку працівника за день при дотриманні необхідних умов було відібрано 10 працівників, заробіток яких виявився рівним (у руб.): 325; 337; 319; 330; 327; 328; 332; 320; 318; 334. Потрібно визначити з ймовірністю 0,95 довірчий інтервал для середнього заробітку працівників у генеральній сукупності, якщо є підстави вважати, що заробітна плата у генеральній сукупності підпорядковується нормальному закону визначення.
Рішення:
За даними вибірки визначаємо середню і дисперсію. Отримуємо
; p> Розраховуємо несмещенную оцінку генеральної дисперсії
В
Припущення про нормальному характері генерального розподілу дозволяє нам використовувати рівності (1.9.27) і (1.9.28). Звертаючись до таблиці значень функції Стьюдента, по заданих P = 2 S ( t , v ) = 0,95 і v = n -1 = 10 - 1 = 9 знаходимо t = 2,26. p> Обчислюємо граничну похибку вибірки Оµ = (кг).
Довірчий інтервал для генеральної середньої:
327-5 <<327 +5 або 322 <<332.
Приклад 1.9.8. Використовуючи дані прикладу 1.9.7, визначити обсяг вибірки, необхідний для того, щоб помилка вибіркової середньої з імовірністю 0,95 не перевищувала 3 рубля. p> Рішення.
Ми маємо оцінку генеральної дисперсії s 2 = 42,4. Спочатку знаходимо n 1 по формулою (1.9.25), приймаючи Пѓ 2 = s 2 і визначаючи z за таблицею функції Лапласа:
В
Тепер звертаємося до таблиці функції Стьюдента і по Р = 0,95,
v 1 = n 1 -1 ≈ 17 знаходимо значення t 1 = 2,11. p> Обчислюємо
За Р = 0,95 і v 2 = n < i> 2 -1 = 21 - 1 = 20 знаходимо t 2 = 2,09. p> Обчислюємо
Оскільки n 3 ≈ n 2 , то необхідний обсяг вибірки встановлюється 21 чоловік.
Ще раз відзначим...
