акож dx/dt = h, отримаємо остаточно
(8)
Користуючись формулою (8), можна обчислювати наближені значення похідної функції f (x), якщо вона задана на відрізку [a; b] значеннями в рівновіддалених вузлах а = х0 Аналогічно можуть бути знайдені похідні функції f (x) більш високих порядків.
Приклад 2. Обчислити наближене значення похідної функції, заданої таблицею
x345f (х) 2-16
в точці х = 4.
Застосовуючи формулу (8), отримаємо (тут n = 2, h = 1)
В
Враховуючи, що вузол x = 4 відповідає значенню t = 1 (тобто t = xx 0 / h), отримуємо f (4) ~ 2
Якщо відомо аналітичний вираз функції f (х), то формулу для оцінки похибки чисельного диференціювання можна при цьому ж умови отримати на основі формули похибки інтерполяції
(9)
де ? =? (x) - значення з відрізка [a; b], відмінне від вузлів і х .
Враховуючи (9) і допускаючи, що f (x) диференційовна n + 1 раз, запишемо
(10)
Формула (10) значно спрощується, якщо оцінка знаходиться для значення похідної f '(x) у вузлі х i таблиці. У цьому випадку, враховуючи (6), отримуємо
(11)
де ? - проміжне значення між x 0 , x 1 , x 2 , ... x n .
Позначивши М n + 1 = | f (n +1) (x) |, отримаємо верхню оцінку абсолютної помилки чисельного диференціювання у вузлах:
В
5. Чисельне інтегрування диференціальних рівнянь другого порядку
Задача Коші для диференціального рівняння n-го порядку
(n) = f (x, y, y , ..., y (n-1) ) (2.5.1)
<...
