о задає перетворення Фур'є, має ясний сенс тільки для функцій, перетворення Фур'є може бути визначено і для більш широкого класу функцій, і навіть узагальнених функцій <# "justify">
В· Справедливо рівність Парсеваля <# "18" src = "doc_zip6.jpg"/>, то перетворення Фур'є зберігає L2-норму:
В
Ця властивість дозволяє по безперервності поширити визначення перетворення Фур'є на весь простір <# "21" src = "doc_zip9.jpg"/>.
В· Формула звернення:
В
справедлива, якщо інтеграл у правій частині має сенс. Зокрема, це вірно, якщо функція f є досить гладкою. Якщо , то формула також вірна, оскільки рівність Парсеваля дозволяє надати інтегралу в правій частині сенс за допомогою граничного переходу.
Ця формула пояснює фізичний зміст перетворення Фур'є: права частина - (нескінченна) сума гармонійних коливань e i ? x з частотами ?, амплітудами і фазовими зрушеннями відповідно.
В· Теорема про згортку: якщо , тоді
, де
В
Ця формула може бути поширена і на випадок узагальнених функцій.
В· Перетворення Фур'є і диференціювання. Якщо , то
В
З цієї формули легко виводиться формула для n-й похідної:
В
Формули вірні і у випадку узагальнених функцій.
В· Перетворення Фур'є і зрушення.
В
Ця і попередня формула є окремими випадками теореми про згортку, так як зрушення по аргументу - це згортка зі зрушеної дельта-функцією <# "justify"> В· Перетворення Фур'є і розтяг.
В
В· Перетворення Фур'є узагальнених функцій. Перетворення Фур'є можна визначити для широкого класу узагальнених функцій. Визначимо спочатку простір гладких швидко спадних функцій (простір Шварца <# "justify">
Ключовою властивістю цього простору є те, що це інваріантне підпростір <# "21" src = "doc_zip23.jpg"/>. Це деякий підпростір в просторі всіх узагальнених функцій <# "21" src = "doc_zip24.jpg"/> її перетворенням Фур'є називається узагальнена функція, діюча на основні функції за правилом
В
Наприклад, обчислимо перетворення Фур'є дельта-функції <# "43" src = "doc_zip27.jpg"/>
Таким чином, перетворенням Фур'є дельта-ф...
