ункції є константа.
Застосування перетворення Фур'є
Перетворення Фур'є використовується в багатьох галузях науки - у фізиці <# "justify"> регресійний модель Айткен фур'є
Різновиди перетворення Фур'є
Багатомірне перетворення Фур'є
Перетворення Фур'є функцій, заданих на просторі , визначається формулою
В
Тут? і x - вектори простору, - їх скалярний твір <# "56" src = "doc_zip33.jpg"/>
Ця формула може бути інтерпретована як розкладання функції f в лінійну комбінацію (суперпозицію <# "18" src = "doc_zip34.jpg"/> з амплітудами, частотами? та фазовими зрушеннями відповідно. Як і колись, у різних джерелах визначення багатовимірного перетворення Фур'є можуть відрізнятися вибором константи перед інтегралом.
Зауваження щодо області завдання перетворення Фур'є і його основні властивості залишаються справедливими і в багатовимірному випадку, з наступними уточненнями:
В· Взяття приватних похідних під дією перетворення Фур'є перетворюється на множення на однойменну координату:
В
В· Змінюється константа в теоремі про згортку:
В
В· Перетворення Фур'є і стиснення координат:
В
В· Більш загально, якщо - оборотне лінійне відображення <# "justify">
Ряди Фур'є
Безперервне перетворення саме фактично є узагальненням більш ранньої ідеї рядів Фур'є <# "46" src = "doc_zip42.jpg"/>
Розкладання в ряд Фур'є застосовно також до функцій, заданих на обмежених проміжках, оскільки такі функції можуть бути періодично продовжені на всю пряму.
Ряд Фур'є є окремим випадком перетворення Фур'є, якщо останнє розуміти в сенсі узагальнених функцій <# "46" src = "doc_zip43.jpg"/>
Іншими словами, перетворення Фур'є періодичної функції являє собою суму точкових навантажень в цілих точках, і дорівнює нулю поза ними.
Дискретне перетворення Фур'є
Дискретне перетворення Фур'є - перетворення кінцевих послідовностей (комплексних) чисел, яке, як і в безперервному випадку, перетворює згортку <# "13" src = "doc_zip44.jpg"/> - послідовність комплексних чисел. Розглянемо многочлен
В
Виберемо які-небудь n точок на комплексній площині. Тепер многочлену f (t) ми можемо зіставити новий набір з n чисел:
В
Зауважимо, що це перетворення оборотно: для будь-якого набору чисел існує єдиний многочлен f (t) ступеня не вище n? 1 з такими значеннями в відповідно (див. Інтерполяція <# "25" src = "doc_zip50.jpg"/>. br/>
Такий вибір продиктований тим, що в цьому випадку зворотне перетворення ...
