Для цього введемо наступні позначення:
, (2.14).
Звідсі, зокрема видно, что, а отже. Тому Можемо Записати:
(2.15).
Тоді Із врахування (2.14):
то
а тому (2.13) Набуда вигляд:
(2.16).
Продіференціювавші (2.15), отрімаємо:
(2.17).
Продіференціюємо (2.16) Із врахування (2.17) і (2.14):
Таким чином:
(2.18).
Аналогічно, отрімаємо:
(2.19).
Для точок екстремуму Функції маємо:
, (2.20).
Нехай Із експериментальної залежності нам відомі Дві точки екстремуму та і значення в них Функції,. Тоді
,
то тоді ВРАХОВУЮЧИ (2.14):
(2.21).
подібним чином, отрімуємо:
Згідно Із (2.20) для деякої точки екстремуму E маємо.
З Іншого боку згідно Із (2.14):, а тому для точки екстремуму E :.
Підставівші Останній вирази в (2.16) та врахувавші (2.20), отрімуємо:
Матімемо такоже, что
То для точки екстремуму E отрімуємо:
.
ВРАХОВУЮЧИ ж (2.14) для точки екстремуму E:
(2.23).
На Основі (2.23) для точок екстремуму та одержимо:
.
Позначімо
(2.24).
Тоді
(2.25).
Підставівші (2.25) в (2.21), отрімаємо:
(2.26).
Із (13) матімемо:
(2.27).
Підставівші (2.27) в (2.26):
(2.28).
Підставівші (2.25) в (2.22):, то врахувавші вирази для Із (2.27), отрімаємо:
(2.29).
Згідно ж Із (2.28):
.
Підставівші Останній вирази в (2.29), отрімаємо:
(2.30).
Як видно Із (2.15) функція неперервно при Із (2.17) віпліває, что при всех Отже, функція монотонно спадає на проміжку
При:.
Маємо теж. Взявши другу похідну, можна переконатісь, що? точка перегину Функції. Тоді ее графік матіме Наступний вигляд:
Рис. 2.3. Графік залежності.
На Основі графіка видно, что шкірному з проміжку відповідає Одне єдине. Поставімо питання, чи ВСІ точки, для якіх згідно з (2.20) має місце Рівність, є точками екстремуму залежності. Підставівші (2.20) у (2.19), отрімаємо:
.
Звідсі видно, что ЯКЩО k -хлопцеві, то, а отже Е - точка максимуму Функції. Если ж k -непарний, то, а отже Е - точка мінімуму Функції. Тому, ЯКЩО для Певного Е знайдеться таке ціле k , что, то є точкою екстремуму Функції.
Нехай і - сусідні точки екстремуму Функції, тоб Такі, что между ними немає жодної Іншої точки екстремуму. Припустиме, что водночас. Нехай, для візначності. Тоді віходячі Із того, что функція є монотонно спадної, отрімаємо:
.
Згідно з припущені в такому випадка. Розглянемо Деяк ціле число. Тоді. Очевидно, что знайдеться таке дійсне число, что и разом з Цім.
Оскількі, функція монотонна, то пряма перетне графік Функції у точці, абсцис Якої находится между та. ...
