ня записане формулою 1.39
, якщо. (1.39)
При, а це можливо тільки в разі рішення має вигляд 1.40
, (1.40)
де-довільний одиничний вектор.
.7 Потенціювання
потенціювання називається операція зведення в ступінь. Ми будемо розглядати окремий випадок зведення в ступінь - основа натурального логарифма в ступінь кватерніон.
Функція експоненти визначена як (1.41)
. (1.41)
При необхідності показати збіжність цього ряду можна використовувати, наприклад, нерівність для модуля кватерниона [8].
В даному випадку в знаменнику стоїть дійсне число. Оскільки кватерніон коммутатівен по множенню з дійсними числами, розподіл можна представити по компонентно і отримаємо вираз виду 1.42
. (1.42)
Особливістю експоненціального ряду, яку ми і використовуємо, є співвідношення 1.43
. (1.43)
якщо a і b комутують по множенню.
Таким чином, маємо вираз 1.44
(1.44)
Позначимо додаткові змінні значеннями 1.45
(1.45)
де - мінус квадрат векторної частини.
Тут для стислості виведення введена величина - векторна частина кватерниона [5]
Розкладемо експонентний ряд в умовних скороченнях отримаємо вираз 1.46:
. (1.46)
Цікавою особливістю функцій sin та cos є їх періодичність при зміні аргументу на величину, кратну 2? [2]. У нашому випадку результат взяття експоненти так само не зміниться, якщо до уявної частини додати вектор, зі спрямований їй і рівний по абсолютній величині 2? N, де n - ціле тоді
. (1.47)
Нехай
В даному випадку величина по модулю дорівнює одиниці і по напрямку зі спрямована. І вектор, таким чином, має величину, кратну 2? [4].
Тоді отримаємо 1.48:
. (1.48)
Таким чином, вірно вираз 1.49
. (1.49)
1.8 Логарифмування
Логарифмування називають операцію, зворотну потенцированию. Так, якщо вірно рівність 1.50
, (1.50)
де - кватерніон;
-експонентна функція;
то вірно рівність 1.51
. (1.51)
Як і у випадку комплексних чисел, логарифм кватерниона неоднозначний і сферично - періодичний. Відкидаючи сферично-періодичність складову в ln (p), і знаючи покомпонентное уявлення, знайдемо ln (p) знаходження ln (p) показано у формулі 1.52
. (1.52)
. (1.53)
Нескладно помітити, що кватерніон є в деякому роді 3-х мірним комплексним числом [7]. Наведені формули (1.53) переходять у відповідні формули для комплексних чисел при скороченні базису уявних одиниць до будь-якої однієї.
1.9 Чудові «Кватерніони збіги»
Є, принаймні, п'ять таких збігів (усі вони наведені нижче), помічених різними авторами в різний час.
. Рівняння Максвелла як умови аналітичності функцій кватерніонів змінного [11].
У 1937 році Фютер [20] зауважив, що рівняння Коші-Рімана, що визначають дифференциру...
