де - зв'язаний кватерніон.
В компонентах модуль кватерниона виражається формулою 1.21
(1.21)
Модуль кватерниона дорівнює нулю тільки в тому випадку, якщо всі компоненти кватерниона дорівнюють нулю [7]. Для модуля кватерниона вірно рівність 1.22
(1.22)
Модуль сполученого кватерниона дорівнює його модулю, так як кватерніон, двічі зв'язаний, дорівнює самому собі [6] і має вигляд 1.23
(1.23)
Для модуля кватерниона вірно нерівність (1.24):
(1.24)
Для будь-якого кватерниона будь-якій його компонент за абсолютним значенням менше або дорівнює модулю кватерниона [5].
.6 Тригонометрична форма запису кватерниона
Нехай q-нормований кватерніон. Вводячи нові змінні за допомогою рівностей 1.25
, (3.25)
де - одиничний вектор колінеарний вектору.
отримаємо тригонометричну запис [10] кватерниона 1.26
. (1.26)
Для ненормованого кватерниона матимемо формулу 1.27
. (1.27)
де - модуль кватерниона.
Форма кватерниона (1.27) аналогічна тригонометричної записи комплексних чисел. З неї випливає, що будь кватерніон однозначно визначається значенням модуля, одиничним вектором і кутом [10]. Вибір же і для заданого є двозначним, оскільки одночасна заміна знака при і на зворотний не змінює кватерниона. Зауважимо так само що якщо векторна частина кватерниона дорівнює нулю, то, і тоді - будь одиничний вектор з тривимірного простору [6].
Використовуючи тригонометричну форму (1.27) отримаємо формулу для добутку двох кватерніонів з колінеарними векторними частинами. Нехай твір має вигляд 1.28
. (1.28)
Де і - кут, використовуваний при записі кватерниона в тригонометричної формі;
Тоді матимемо 1.29
(1.29)
Для-го ступеня кватерниона на підставі отримаємо формулу 1.30
. (1.30)
Де - ступінь в яку зводитися кватерніон;
яка аналогічна формулі Муавра для комплексних чисел [4].
Остання формула дає можливість легко знаходити рішення статечних кватерніони рівнянь виду 3.31
. (1.31)
Представляючи і в тригонометричної формі 3.32
. (1.32)
Отримаємо як рівняння (3.31) рівняння 1.33
. (1.33)
Рішення цього рівняння записується у вигляді 1.34
,,. (1.34)
Отримані співвідношення визначають k різних рішень рівняння (1.31) у тому випадку, коли векторна частина кватерниона відмінна від нуля [2]. Якщо ж, то кожному значенню, для якого, буде відповідати нескінченна безліч рішень і мати вигляд 1.35
. (1.35)
де-довільний одиничний вектор з тривимірного простору.
При рішення рівняння можна записати в алгебраїчній формі, якщо уявити кватерніони у вигляді 1.36
. (1.36)
Тоді отримаємо рівняння 1.37
. (1.37)
яке з урахуванням рівності зводиться до системи 1.38
,. (3.38)
Звідси випливає рішен...
