ругому - позитивно певної квадратичної формою. Ця властивість збережеться і на підпросторі H, яке в даному випадку визначається рівняннями. Враховуючи це, укладаємо, що точка є точкою умовного максимуму, а точка - точкою умовного мінімуму.
Практична частина
екстремум завдання функція збіжність
Метод Ньютона рішення задачі БМ. Властивості його збіжності
Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (також відомий як метод дотичних) - це ітераційний чисельний метод знаходження кореня (нуля) заданої функції.
Щоб чисельно розв'язати рівняння f (x)=0 методом простої ітерації, його необхідно привести до наступної форми:, де - стискуюче відображення.
Для найкращої збіжності методу в точці чергового наближення повинна виконуватися умова. Рішення даного рівняння шукають у вигляді, тоді:
У припущенні, що точка наближення «досить близька» до кореня, і що задана функція неперервна, остаточна формула для така:
З урахуванням цього функція визначається виразом:
Ця функція в околиці кореня здійснює стискуюче відображення, і алгоритм знаходження чисельного рішення рівняння зводиться до ітераційної процедури обчислення:
За теоремою Банаха послідовність наближень прагне до кореня рівняння.
Рис. 4. - Ілюстрація методу Ньютона (синім зображена функція f (x), нуль якої необхідно знайти, червоним - дотична в точці чергового наближення xn).
Геометрична інтерпретація.
Основна ідея методу полягає в наступному: задається початкове наближення поблизу предположительного кореня, після чого будується дотична до досліджуваної функції в точці наближення, для якої знаходиться перетин з віссю абсцис. Ця точка і береться в якості наступного наближення. І так далі, поки не буде досягнута необхідна точність.
Нехай - визначена на відрізку і дифференцируемая на ньому вещественнозначная функція.
Тоді формула ітеративного обчислення наближень може бути виведена наступним чином
де - кут нахилу дотичної в точці xn.
Отже шуканий вираз для xn +1 має вигляд:
Ітераційний процес починається з якогось початкового наближення (чим ближче до нуля, тим краще, але якщо припущення про знаходження рішення відсутні, методом проб і помилок можна звузити область можливих значень, застосувавши теорему про проміжні значення).
Алгоритм
Здається початкове наближення x0.
Ще не виконана умова зупинки, в якості якого можна взяти або (тобто похибка в потрібних межах), обчислюють нове наближення:
.
Розглянемо задачу про знаходження позитивних, для яких. Це завдання може бути представлена ??як задача знаходження нуля функції. Маємо вираз для похідної <# «23» src=«doc_zip326.jpg» />. Так як для всіх і для, очевидно <# «justify">
Підкресленням відзначені вірні значущі цифри <# «justify"> Завдання: Методом Ньютона обчислити мінімум функції двох змінних.
