, відмінних від нуля, і
Q *=(Q *,, - 1)-мультиплікативна група раціональних чисел. Нехай Q + - безліч всіх позитивних раціональних чисел і Q +=(Q +,, - 1) - мультиплікативна група позитивних раціональних чисел. Відображення h безлічі Q * на Q +, обумовлене формулою h (a)=| a | для кожного a з Q *, де | а | - абсолютне значення числа a, зберігає головні операції групи Q *. В Насправді, для будь-яких a, b з Q * вірні рівності | ab |=| a | | b | і | a - 1 |=| a | - 1. Отже, відображення h є гомоморфізмом групи Q * на Q *.
. Нехай R + - безліч всіх позитивних дійсних чисел і R +=(R +,, - 1) - мультиплікативна група позитивних дійсних чисел. Нехай R - безліч всіх дійсних чисел і R =(R, +, -) - адитивна група дійсних чисел. Розглянемо відображення f: R + R, обумовлене формулою
f (x)=log x. Функція f є ін'ектівное відображення безлічі R + на R, що зберігає головні операції групи R +. Справді, для будь-яких х, у з R +
log (xy)=logx + logy, log (x - 1)=- logx.
Отже, f є ізоморфізмом групи R + на групу R .
. Нехай g - відображення множини R на R + обумовлене формулою
g (x)=2x. Відображення g є ін'ектівное відображення R на R + і зберігає головні операції адитивної групи R =(R, +, -), так як 2x + у=2х2у і 2-х=(2х ) - 1. Отже, g є ізоморфізмом адитивної групи R на мультипликативную групу
R =(R,, - 1)
2. Групи матриць
2.1 Повна лінійна група
Повна лінійна і спеціальна лінійна групи ступеня і над полем, що і факторгрупа ізоморфна мультипликативной групі поля.
Матриця, у якої нижче головної діагоналі всі елементи нулі, а на діагоналі всі елементи одиниці, називають верхньою унітреугольной матрицею. Безліч всіх верхніх унітреугольних матриць позначають через. Очевидно, що є групою.
Нагадаємо, що характеристика кінцевого поля завжди просте число і якщо - кінцеве поле характеристики р, то число елементів у полі одно, де-деяке натуральне число, тобто . Відомо, що будь-які два кінцевих поля рівних порядків ізоморфні між собою.
Нехай поле звичайно і Якщо - інше поле порядку, то поле ізоморфно полю. Цей факт доводиться в теорії полів. Але звідси випливає, що групи і ізоморфні і замість можна писати. Аналогічно, замість писатимемо
Зауважимо, що якщо-елементарна абелева-група порядку, записана адитивно, то можна розглядати векторний простір над полем класів відрахувань по простому модулю, в якому адитивної групою є група а множення на елементи з поля визначається за правилом:, для будь-яких і
При цьому, очевидно,
.
Таким чином, доведена
Теорема 2.1. Елементарна абелева-група порядку ізоморфна аддитивной групі векторного простору розмірності над полем з елементів, а група автоморфізмів ізоморфна повної лінійної групі
Теорема 2.2.
(1);
(2);
(3).
Доказ. (1) Нехай - кінцеве поле порядку
,
де - просте число. З елементів цього поля складаються рядки невирождени?? Нних-матриць. У кожному ря...
